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オイラーの贈物

おっと、ごたごたしてしまい、さらりと終わらせるつもりが結構時間かかっています。

wikipedia:ウィリアム・ローワン・ハミルトン

ウィリアム・ローワン・ハミルトン（William Rowan Hamilton, 1805年8月4日 - 1865年9月2日）はアイルランド生まれのイギリスの数学者、物理学者。四元数と呼ばれる高次複素数の発見。また、イングランドの数学者アーサー・ケイリーに与えた影響は大きい。
概説 [編集]

幼い頃より神童として知られ、10歳で10カ国語を操るなど才能は図抜けていた。本格的に数学を始めたのは15歳の頃で、当時最先端のラグランジュ、ラプラスの書物を学ぶ。この頃わずか16歳にしてラプラスの『天体力学』に誤りを発見し、専門家を驚かせた。大学入学後も圧倒的な才気を見せ、学部四年で天文台長に推挙されている。才能に溢れ、身体、精神共に快活なハミルトンは社交界でも人気を集め、親友の詩人ワーズワースは、ハミルトンとコールリッジを挙げて「私の出会った最も魅力的な人物」とすら述べている。
光学への数学の応用、ハミルトニアン、数学理論による自然現象の予言、解析力学の創始、代数系の基礎付けなど、前半生の業績は非常に華々しく、「ニュートンの再来」と呼ばれた当時の評判に恥じない物がある。

複素数を実数と演算規則により公理化していたハミルトンは、複素数を三次以上に一般化する事に心血を注ぎ、十年程を経た1843年10月14日、ブルーム橋にさしかかった所でついに四元数の概念に到達する。四則演算を保存しない四元数は極めて斬新なアイデアで、その後の代数学全体に多大な影響を残した。
しかし当のハミルトンは、四元数の実用化に取り憑かれ、その後約20年を四元数の研究に費やすようになる。700ページを超す大著『四元数講義』はド・モルガン、ハーシェルらに難解と評され、『四元数の基礎』を著するがこれも長過ぎて生前に出版される事はなかった。
晩年のハミルトンは、アルコール中毒に溺れながら誰にも理解される事のない数学研究に没頭した。遺体が発見された時、ハミルトンの部屋は酒と肉汁にまみれた二百数十冊のノートで埋め尽くされており、この中には正しい物、誤った物、判断のつかない物が入り混じった数式の山が残されていたという。また四元数は一部に「四元数カルト」と呼ぶべき一団を構成するものの、大勢からは無視され、省みられるまでに100年ほどの時間を必要とした。

目次

9章　ベクトルと行列

9−1　ベクトルの定義とその算法

ベクトルの定義
ベクトルの幾何的性質
ベクトルの内積

9−2　行列の定義とその算法

行列の定義
一般的な行列の算法
行列計算の法則
ゼロ行列と単位行列

9−3　逆行列と連立一次方程式の解法
9−4　複素数の行列表現
9−5　オイラーの公式の行列表現
9−6　行列のN乗を求める

ケイリー・ハミルトンの公式
行列に関する指数関数

9−7　回転行列と正N角形
１の6乗根
１の6乗根→ベクトルの応用

個人的には、ここが一番、よくできているのではないかと思います。
行列の計算のやり方をマスターするというのは、案外やりにくいのではないでしょうか。

数学の学習で、一番、躓きやすいのは、「記号」の読解だと思います。
Σにせよ、Pとかにせよ、?にせよ。
日本語とは違う記号を使って、どういう計算作業を表しているのかということを、
読み取れないと、数学の論証を読んでいて、書いた人が、どういう計算を行ったのかを
たどれなくなるとき、通常、その本を通じての数学の学習をやめたくなります。

少なくとも、私はそうです。
行列は、掛け算が典型ですが、記号によって、省略されている計算の作業がとても多いです。
一般的なＮ次正方行列同士の掛け算など、Ｎ×Ｎ×Ｎ回の掛け算をやっているわけですが、
そんな膨大計算作業が、記号で、ちょろりと書かれるだけだから、
ともすると、計算をしている作業の具体的な様子が、わからなくなって、記号の海に
埋没する危険性があります。

とすると、行列の単元の学習では、計算過程を、面倒でも、丁寧におってくれているかどうかが、
他の数学の単元にも増して、大事になってきます。
行列の学習に関係する類書も、目を通していますが、
多くの本は、計算過程の書き方が、中途半端になったりするので、
おそらく、読者を泣かせているのではないかと思います。
その点、「オイラーの贈り物」では、こういった難点をしっかりクリアしているように
思います。
式の番号なども、気にしないで、きちんと、行列の計算作業を実行できるようになるために、
必要なスキルが、とても丁寧に解説されています。

追記

講師紹介 | Ｋ会 | 関東・甲信越 | 高校生・中学生 | 大学受験の予備校 河合塾

講師は東大・東大大学院在・卒生。国際数学オリンピックのメダリスト。学問分野で研究者をめざす者たちです。今までの塾・予備校にはない、独自の刺激的な環境を中学生、高校生に提供しています。
片岡俊基（理科一類）：
国際数学オリンピック金メダル．国際情報オリンピック金メダル．
西本将樹（理学部）：
数学科．国際数学オリンピック金メダル．
中島さち子（理学部）：
数学科．国際数学オリンピック金メダル．
越川皓永（理科一類）：
国際数学オリンピック銅メダル．Ｋ会OB．
清水康司（理科一類）：
Ｋ会OB．
関典史（理科一類）：
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医学科．国際化学オリンピック金メダル．
小林佑哉（医学部）：
医学科．全国高校化学グランプリ大賞
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医学科．Ｋ会OB．
森田薫 （医学部）：
医学科．
三谷知広（医学部）：
医学科．日本数学オリンピック銀賞．全国高校化学グランプリ優秀賞
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坂本文子（大学院）：
言語学専攻
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言語学専攻
鍛治広真（大学院）：
言語学専攻
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言語学専攻
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哲学専攻
清塚明朗（大学院）：
哲学専攻
土田 治（大学院）：
政治学研究法学科

【写真】天才プログラマに聞く10の質問（5）：Rubyを最大63％高速化した中学生は超多忙！ (1/3) - ＠IT

　筑波大駒場付属中学校は、東京都内にある中高一貫の国立校だ。入学試験の偏差値と東京大学への進学率の高さから“東の筑駒、西の灘”と称される進学校である。強いのは受験だけではない。国際情報オリンピックや国際数学オリンピックでは、同校の生徒が毎年のように金・銀メダルを制するなど才能あふれる理数系人材が多数在籍している。

金井氏：はい。パ研にはいくつか入門書架があり、『猫C』はそのうちの1冊です。いまの中学1年生にも貸し出していて、代々受け継がれています。パ研では、コンピュータの経験がない新入生には、とりあえずC言語の解説書を渡すというルールがあるんです。

竹内いくお

1946年生まれ。東京大学大学院理学研究科数学専攻修士課程修了。工学博士。日本電信電話公社（現NTT）の基礎研究所、NTTソフトウェア研究所などを経て、1997年に電気通信大学の情報工学科教授、2005年より東京大学大学院の情報理工学系研究科創造情報学専攻教授。日本におけるLispの草分け的な存在であり現役のハッカー。また、研究室を率いてのRoboCup出場・優勝、IPA「未踏ソフトウェア創造事業」のPMとして若手プログラマの発掘・育成、災害時や防災へのIT活用など、非常に多面的な活躍で知られる。著書、訳書多数。