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確率分布 その2

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ベルヌーイrv

コイン 裏 0
コイン 表 1

ロケット打ち上げ 成功 0
         失敗 1

システム 可動 0
     停止 1

n個数の中からi個数取り出す 組み合わせ

色々なところで活躍しているモデルです。

 

煙検知センサー 3個

2個以上 検知すると センサーが鳴ります。

two out of three 冗長系

センサーも誤作動の可能性がある。

 

システムの信頼性というトピックにつながる

センサーが誤って鳴ってしまう確率 p とする。

火災警報装置 作動 → ベルが鳴る。

あるいは、いきなりスプリンクラーが動くこともある。

誤作動したスプリンクラーで図書館の本がだめになってしまったこともある。

どうやって誤作動したときの勘違いアクションを防げるのかという問題意識。

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航空機の事例 エアバスA380

左右の翼に2個ずつ エンジンが搭載。

2個以上が正常だったら飛行を継続することは出来る。

故障が起きない確率p

それぞれのエンジン故障の確率は互いに影響を与えない。

1個になってしまってはまずい。

 

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前回 登場した火山灰はこの独立性の仮定を成立できなくさせる。

つめるエンジンが2個数の飛行機だと、無事に帰ってくる確率はどう変化するのか?

こんなバリエーションもあります。

 

続いて「幾何学型の確率変数」

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あとは、等比級数の和の公式を使う。

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指数関数の冪級数展開を用います。

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組み合わせの計算がnが大きくなったときに大変になるのを

なんとか避けることができないものかという問題意識。

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これを応用していく。

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連続型確率変数

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連続型の場合、関数の値そのものは、確率にならない。

二つの関数の値の間がなす、面積が確率になっている。

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右連続と左連続の話題

分布関数は連続性をもつ。→離散型の確率変数(階段型)との最大の違い

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bとaの間をまったくランダムにとるという関数の表現は

下記の板書

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この関数のcdfをとってやる

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黄色で描いた関数グラフを式で表現すると下記の板書

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一様分布といいます。モンテカルロシミュレーションを扱うときに

登場する。

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Xが分布関数のどのあたりなのかを注目。

積分計算をする範囲が図形的にどういうものになるのかを考えましょう。

では、場合分けをして、積分を実行します。

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いずれ、確率過程というものも学習します。

ある機械がある。

正常に動いている → 故障 → 時間をかけて修理 → 現役復帰 → 故障

→ 時間をかけて修理 → 繰り返し

正常に動いている時間 修理で停止している時間

サイクルの繰り返しの中でこの時間はどう変化していくのかといった問題。

→ マルコフ過程

こういう事例を扱うときに指数分布というものを用いる。

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memory less property

無記憶性

飛行機 新品の飛行機導入 無事故で羽田大阪往来した。

10年間現役。

点検してみた。故障がない。

新品同様とみなす。→ この考え方

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10年使用した飛行機が1時間以上持つ確率

 

製造されてまもない飛行機が1時間以上持つ確率

 

これが等しくなっている。

他にも電子的な部品の寿命の確率分布などもこの無記憶性を

もっていることがある。

===

ブログの筆者より。

数学者は発見するだっけ。発明はしないんだって。