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期待値

7本のくじがある。

そのくじには番号が付与されている。

引いたくじに記載されている番号に応じて、受け取ることが

できる賞金が異なる。

それぞれのくじを引く確率は均等ではないという問題設定。

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このくじ引きを何度も繰り返す。

そういう状況。もらえる金額の平均はいくらくらいになるのか?

expected value 期待値

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問題において期待値の計算をすると890円になります。

お金儲けができるチャンスには手数料が請求されます。

請求される参加費が、ペイするかどうかの判断をどうやってするのかという

問題。

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X=800 の確率

X=900 の確率

X=1000 の確率

X=1200 の確率

それぞれにもらえる賞金をかけていっている。

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ベルヌーイ型確率分布を示す確率現象においては

期待値はいくらになるのか。

w.pはwith probabilityの省略形です。

X = 1になる確率がpであるとしている。

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では2項型確率変数

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2項定理の計算方法を応用しています。

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一般的な式の形で期待値がでてきた。

裏と表が均等な確率で出るコインを10回降ると、

何回表がでそうか?

n = 10  p=0.5

期待値は5になる。直観とも合致している。

ロケットなり飛行機なりがN回目で初めて故障する確率

N-1回目までは無事に飛行している。

というようなケース。

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最後の行でなんとなく等比級数っぽいものがでているけど。

横にnが書かれているので、ダイレクトには無理。

何かを微分した形に似ていませんか?

作用素の交換というテクニックを用いています。

そうすると、等比級数の和の公式が利用できる。

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もっと、簡易にこの期待値を求める方法もあります。

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ポアッソン型で期待値をだす。

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X = 0

X = 1

X = 2

のどれかしかないケース

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0.25と出ます。

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上が離散型

下が連続型(これが成立することを下記の板書で証明していく。)

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law of the unconscious statistician

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確率変数のモーメントという概念について

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期待値は単なる数であることに注目してください。

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以下、性質2の証明を解説します。

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6面体、つまり普通のサイコロを1回ふった時の分散や期待値を計算する

という練習問題について

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左側の積分においては部分積分の実行。

以下は結果のみ示します。

分散の値 0.25

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σが小さいととんがる 大きいとなだらかになる。

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左側の積分 ミューを中心に左右対称の形。

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左側 奇関数と偶関数の積

右側 密度関数の全域における積分だから1

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