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確率変数の独立性 その1 筑波OCW

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筑波大学を訪問している銭形警部がいる。

東京行き直通バスに乗り遅れる。

乗り継ぎのバスを使う必要が出てくる。

到着する時間はいつなのか?

ローカルのバスの乗車時間 X

高速バスの乗車時間  Y

それぞれに事情が異なる。

結合確率分布関数というテーマになります。

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X = 0のケースがわかればよい。Yがどうであってもいいという確率は

以下のように計算します。

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Y=2である確率であればよい。Xはどうでもよいという場合は

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以上は離散型

 

次は連続型を扱います。continuous

確率密度関数はこんなやつだったの覚えてますか?

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ここれ順序交換のテクニックが利用されている。

外側にdxをもってくることで下記のように微分の実行が可能になり、

∮が外れてくれる。

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前回学習した定理を再度掲載。

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これを用います。というか応用。

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大学から筑波センター 筑波センターから東京

銭形警部の移動の事例 今回の授業の最初に登場したケースです。

その前に、期待値操作の線形性について

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内側の∮はX

外側の∮はY

定数のaとbは外に出せる。

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Hがでる回数Xの期待値 np

いい道具はちょっと勉強するとわりと簡単に手に入る。

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現実のケースで確率の計算をしようとすると、対象になるXやYは

独立ではない場合のほうが多い。

もし、独立であると仮定すると、整然とした論理体型が出来るということを

ここでは俯瞰する。

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斜線をひいたエリアの面積計算をするために

余計な長方形を差し引いていくという考え方を用いる。

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XとYは独立だから、2変数関数のように記述されていたら、

単独の変数をとる2つの関数の積に書き換えることができる。

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X Yどちらで積分を実行しているのかに常に注目。

積分計算の対象になっていない文字は「定数」扱いでよい。

だから、外に出せるということ。

それと、求められた期待値は「単なる定数」であるということも

式変形でよく用いられます。

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システムの信頼性の話

3つの装置がすべて正常でないと、可動できないシステム(直列系)を

想定しています。1つでも故障するとストップさせないといけない。

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ベルヌーイ型の確率分布をとる事例で

どうやって期待値計算をしたかを復習しておきましょう。

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直列系のシステムに対して、3つの装置の内、1台だけ

生存していれば、システムとして可動できるというものも

ある。3台、すべて故障したときだけ、システムがダウンする。

こういったシステムを並列系という。

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それでは、この並列系のシステムが無事に可動しつづける期待値を

計算していきましょう。それが下記板書。

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並列系だと、1台ごとの正常に動く確率が0.6であっても

ダウンしない期待値は0.9を超えてしまいます。

並列系のシステム構想は、第2次大戦が終わってから出てきた。

技術レベルが低い状態で作った装置の1から3を、この手法で

組み込み、1台1台が心もとなくても、全体として高い信頼性を実現した。

信頼度計算

2006年8月14日の日本標準時午前7時38分頃に、旧江戸川を航行中のクレーン船がアームを江東線78、79号鉄塔間の送電架空線(275kV江東線1、2号)に接触させ、これを切断し[1]、葛南、世田谷、荏田の3か所の変電所が停電。系統切替により午前7時46分に荏田変電所が復旧したが、午前7時58分には系統から孤立していた品川火力発電所が自動停止(朝の需要の伸びに伴い供給力とのバランスが崩壊したため)、江東、城南変電所が停電した。これにより東京都心部で97.4万軒、神奈川県横浜市北部・川崎市西部で22万軒、千葉県浦安市市川市の一部で19.7万軒、合計約139.1万軒で停電が発生した[1]wikipediaより

東京ディズニーリゾートでは開園を約50分遅らせ、アトラクションを一時中止した。

メインの送電線とともに、バックアップ用の送電線も切断されるという事故だった。

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再び、バスをのりつぐ銭形警部のケースに戻ります。

彼は乗りつぐルートを用いることで

どれくらいの所要時間をもって東京にたどり着くのか。

この期待値計算をするために、所要時間の確率分布を知りたい。

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Yをちょっと動かして、Xについて計算

Yをちょっと動かして、Xについて計算

ということを繰り返していけば

あらゆXYの組み合わせでa時間にたどり着く確率や期待値が計算できる。

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下記において必要なイメージ

XとYをいれるとある値Zがきまるような関数。

下の座標平面において、このブログを読んでいるあなたに向かって

Z軸がのびている。

さまざまなZの値によって「曲面」の一部、きりとられたものが出来上がる。

鳥取砂丘」? そしてこの曲面がなす体積を計算するということをしている。

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 食パンをイメージしましょう。

その食パンは薄くスライスされている。

そのスライスされた1枚1枚のパンの体積がわかれば、

食パン全体の体積が計算できる。

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キーワード 三角領域における2重積分

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分布関数があるんだったら、密度関数もあるんでしょう。

convolution 合成積

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 分布の再生性というトピック。

確率分布の族における再生性(さいせいせい、reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。 

 

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