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筑波OCW 確率変数 確率分布

ノートPC 使用耐用年数は?

1年?
2年?
5年の期間で、さあ、どれくらい使えるのか?

確率変数という概念を用いて計算します。
白いボール3個
赤いボール2個

白いボールは 2個か?
       1個か?
   それとも 0個か?

これは確率変数です。

「変数」という名称には多少難あり。

取り出し球の組み合わせ1と2だったらX=2
ということになります。
5と4だったら、X=0

Xはωが決まることで値が決定する。
ωの関数であるということも出来る。
だとすれば「確率関数」という名称のほうがふさわしかったかもしれない。


「区間」数直線をイメージしよう。
開区間 閉区間

区間には上記のようにいろいろなパターンがあります。
9通りかな。


上記の板書は「確率変数」の数学的なイメージ
2つの集合A 集合B 同一であることの証明 手法は?


確率変数の定義が2種類出てきた。この定義がまったく
同一の対象を表現していることの証明は時間が
余ったときに解説します。

設問が登場。
コインを2枚なげて、表が出る枚数の確率変数各自の確率を
計算する。
具体的な書き出し作業と数え上げの作業の様子は下記の板書。

次は裏と表のでる確率が均等ではないコインを投げる問題。
表が出たらストップという事例


4番めの問題は、「いつか」コインを投げていたら「表」がでる
という確率を計算せよという問題。
3回 10000回 N回 そして∞回。
それが1になるということを証明せよという問題。
以下その証明の解説

等比級数の和を求める手法を適用すると、計算が出来る。

冒頭に登場した非復元抽出 白3赤2の問題にもどります。
取り出される白球の個数を確率変数Xとしたとき、
横軸をX 縦軸をその確率として、分布を作成していく。
それが下の板書。

こういうのを分布関数という。
数学的な定義を与えますと、下記のようになります。

この関数は区間をみて、単調非減少。
グラフが右肩あがり。途中で下がったりしない。
広義 単調増加ともいっていい。
ところでこの確率変数が正負において∞の値をとる
時の確率の値はどうなるのか?それが下記。

確率変数を扱う計算についての性質なども出てくる。

確率変数の値をとある値にどんどん近づけていったとき、
縦軸の値はどうなるのかということをどう表記するのか?

上記はXがどんどん1に近づいている様子。

右から近づいていくのか、左から近づいていくのかで縦軸の値が
違ってくることに注意。

右連続とはどういう意味か。

1−0 という表記に注意。
このとき、1よりほんのすこし左の値を読み取りましょう。


区間の端が含まれているかどうかで、あつかう数値が違ってくる。

−0 の意味は「ほんのちょっと小さい」ということ。

離散型確率変数

再び 赤3 白2 の非復元抽出
Xは有限個数しかない。→ 加算無限の話になっていく
こういうのが離散型

この事例とは違うケース
0から1の数直線にハリを落としていく、思考実験
Xがどこに落ちるのかというのは加算無限ではない。
これは実数の個数を聞かれるということ。→ 連続型確率変数で扱う。

離散型確率分布の定義

サイコロを投げる。
「君が使用するサイコロの性質を述べよ。」と言われたら?

このようにサイコロの性質を説明されたら、
1から5までの分布だけではまだ確率は1になっていないから
説明として不十分だと指摘することができる。

pmfがわかれば、サイコロの性質の全容がつかめる。



分布関数 cumulutive distributive function → CDF

CDFとPMFの違いがわかる板書

演習