代ゼミ 数学講師の数学勉強論 「私大医学部対策」

私大医学部の数学対策についてまとまった記述があったので

拾っておきます。

 

山本が個別指導で設定するときは

 100枚の基礎プリントをすべてできるようにすること

を生徒の皆さんに求めています.

と言っても問題のレベルがピンときませんね.

市販されているものでいうと,

Z会から出ている「チェック&リピート」3冊を

もうちょっと難しいものまで収録して練習している感じ・・・でしょうか.

この「チェック&リピート」という本は

扱っている問題自体はそれほど難しいものは入っていないんですが,

解答がとてもよく考えられていて,

1文字固定や定数分離といった

数学的な考え方が身につくように構成されています.

なので山本の塾で100枚の基礎プリントにいく前に

「チェック&リピート」と「Essential数ⅠA34」「Essential数ⅡB40」

で基礎固めをしている生徒は多くいます.

やり方としては,

 ➀チェック&リピートを章ごと(例えば2次関数)にまず1回やり,

  できる問題とできない問題をしっかり把握する

 ②Essentialで該当する章(例えば2次関数を扱った章)を探し,

  そこを丁寧に読みながら考え方の原則を頭に入れる

 ③チェック&リピートをもう一度解いて,

  Essentialで得た原則を応用することで,

  数学的な発想を定着させる

という方法を塾の皆さんには徹底しています.

これができるようになると

100枚の基礎プリントの狙いがわかるようになってきて,

春休みから1学期にかけて,

この100枚のプリントを何回も何回も繰り返してもらいます.

100枚ができるようになってきたら

私大医学部は半分みえてきたっていう感じかな.

 

私大医学部の合格に必要な勉強⑴でお話したやり方で

ほとんどの方は基礎が固まっていくのですが,

チェック&リピートの問題の7割ぐらいが自力では解けないという人も

いらっしゃるはずですよね.

この場合,教科書レベルの基礎もあやしいはずなので,

そういう時はまず3週間で教科書の内容を理解する必要があります.

一番いいのは自分の理解力や実力に合わせて,

個別指導で基礎だけを3週間で徹底してもらい,

毎回かなりの量の宿題を出してもらって

理解したことを繰り返し反復練習することです.

基礎を固めるには教科書の例題をすべて解けるようにすることだと言われますが,

それは半分正しくて,半分は不十分です.

確かに教科書に書かれていることが正しく理解できていれば,

その単元に対する基礎知識は身につくかもしれませんが,

数学が苦手な人は教科書の内容であっても,

それを正しく理解することが難しいですよね.

たとえば,2次方程式の解の公式は覚えられても,

そこに書かれている公式の証明を理解することまではできないかもしれません.

また,三角関数の加法定理や2倍角の公式,和積の公式などは

覚えるのも大変だし,その公式の証明も,公式の使い方も,

自力ではなかなかできないものです.

つまり,教科書の内容は単に公式の記憶だけならなんとかなりますが,

公式の証明やその使い方まで正しく理解するのは相当難しいのです.

個別指導であればそのあたりが上手にマスターできるため,

基礎固めが3週間でも可能になるのです.

とはいっても,3週間,個別指導で特訓してもらうことができるのは

相当恵まれた状況であって,

誰もがそうできるわけではありませんよね.

そのときは,学校の先生に見ていただいたり,

予備校や塾が配信している単元別の定期試験対策講座を利用して,

基礎を固めるというのでもいいと思います.

とにかく,基礎の基礎を固めるのは自力ではとても難しくて,

誰かに教えてもらうのが一番効率的だということです.

この場合,最も注意することは,

配信講座というのはどうしても生授業に比べると皆さんの集中力が下がるので,

わからなくなったところを決してスルーしないことです.

また,映像授業ではわかった気になることが多いので,

必ず類題を解く習慣も身につけたいですね.

ただしこのやり方では個別指導で3週間の集中特訓をやるよりも

理解力や効率が悪いので,

基礎を固める時間としては6~8週間を取ったほうがよいと思います.

山本の塾では,個別指導ではなくて,

塾に週4回ぐらいきて,教科書の基礎事項をマスターする人もいるのですが,

その場合は数Ⅰから始めて数Ⅲまでを2か月間かけて勉強します.

映像授業での勉強とは違うので,皆さんの理解力に合わせて,

 数と式➡2次関数➡図形と式➡微分積分(数Ⅱ)➡三角関数➡・・・

のように,数Ⅰの教科書の次は数A・・・という順序でなく,

高校数学の基礎を最短でマスターできるよう

学習する順序を再構成して勉強してもらうようにしています.

山本が医学部に必要な基礎力のつけ方は

だいたいお判りいただけたでしょうか.

この基礎力が完成する時期ですが,

ほんとうは高2終了時がベストだと思っています.

でもなかなかそんなにうまくはいかないですよね.

なので,高3の1学期が終了する時点が

イムリミットだと思ってください.

高卒生の皆さんであれば,

浪人が決まってすぐに勉強を始めて,

5月のゴールデンウィーク明けぐらいまでに

集中して基礎力を確立したいですね.

➡浪人生の場合,現役生よりも勉強時間が多く取れるので,

 勉強⑴で述べた内容ぐらいなら

 3か月あれば絶対にやり切れます.

 それにそのぐらいできなければ

 私大医学部の合格はないつもりでいてください.

 数学を得意にするには

 それだけの努力が必要なんですよ.

 

さて,基礎力が完成したら

次にやることは私大医学部レベルの応用力の養成です.

これは2つの応用力を考えましょう.

1つ目は,「チェック&リピート」「Essential34&40」で学んだことを

別の問題でもスラスラ使えるようにすることです.

偏差値が58ぐらいまでの問題であれば,

「チェック&リピート」「Essential34&40」で勉強した知識だけで

必ず解けるものです.

できないのは,

 ➀持っている知識のどれを使うかがあやふやになっている

 ②Essentialで伝えた解法の原則が徹底できていない

 ③計算力の不足

であることが多いので,

別の問題を解きながら

常に「チェック&リピート」「Essential34&40」を参照しながら,

考え方や知識の整理をすることが必要ですね.

山本の塾では

実戦数学α・βの授業を受けている人であれば

 1学期と夏期講習の「問題」「演習のA・B」「確認問題」

が,「チェック&リピート」「Essential34&40」のあとにやる教材になります.

私大医系数学特講を受けている人であれば,

 1学期と夏期講習で扱う「私大医学部小問対策プリント」

が「チェック&リピート」「Essential34&40」のあとにやる教材です.

また個別指導を受ける人は,

 「テーマ別解法の原則プリント」

を徹底的に繰り返すようにお話しています.

これらはだいたいどのぐらいのレベルの問題かというと,

東京出版の「1対1対応」で扱っている問題と

これより少し難しい問題を集めた教材になっています.

なので自分で「チェック&リピート」「Essential34&40」をマスター後に

何をやろうと悩んでいる人は

「1対1対応」がいいのではないでしょうか.

 

前回は

  基礎力が完成したら

  次にやることは私大医学部レベルの応用力の養成です.

  これは2つの応用力が必要で

  1つ目は,「チェック&リピート」「Essential34&40」で学んだことを

  別の問題でもスラスラ使えるようにすることです.

というお話までしましたね.

「チェック&リピート」「Essential34&40」がマスターできて,

これを応用する問題練習として山本の塾では

 テーマ別解法の原則プリント

というのを消化していくのですが,

皆さんの場合には「1対1対応」がいいでしょうとアドバイスしましたよね.

これをやる一番の理由は

「チェック&リピート」「Essential34&40」で学んだことを

違う問題でも使えるようにするということなんです.

高校の数学は使う知識は同じであっても,

問題が違うとなかなか使えないものです.

「チェック&リピート」「Essential34&40」を完璧にすれば

偏差値が58以上は確実に取れる力が身に付きますが,

実際の試験や模試では同じ問題が出ることは少ないため,

カギになる知識をいろいろな問題で試さないと,

真の基礎力養成にはなっていないのです.

言い方を変えると,

「チェック&リピート」「Essential34&40」で考え方の原則をしっかりマスターし,

典型的な問題を通して使う練習をするということですね.

そして今日のテーマですが,

応用力を養成する2つ目のポイントは,

見たことがない問題に対する対応の練習です.

実は見たことがない問題といっても2種類があります.

1つは見た目は見たことがない問題であっても,

実際は典型的な問題に帰着するタイプ.

もう1つはほんとうに見たことがない問題で,

類題も少なく,

おそらく2度と試験には出ないだろうというタイプです.

とはいっても,皆さんにとっては見たことがないのですから,

目の前の問題がどちらのタイプかはわかりませんね.

なので実際に勉強するときは,

教えてくれる先生のアドバイスが重要になります.

山本が塾で意識するのは1つ目のタイプで,

見た瞬間は難しそうとか,方針が見えない感じがするのですが,

丁寧に考えていくと,

その過程で使われる知識は

すべて「チェック&リピート」「Essential34&40」の内容になっていて,

これをいかに皆さんが試験場で解けるようにするかが

山本の最大の仕事でもあります.

駿台代ゼミ河合塾などの予備校では

これらの問題を徹底的に2学期に学習するようになっています.

ただ幸いなことに,

私大医学部の問題は国立医学部の問題と違って,

試験時間が短いため,30分じっくり考えないと解けない問題ではないので,

雑誌大学への数学の「新数学演習」なんかをやる必要はありません.

具体的には山本の塾では

私大医系数学の授業の中で,

実際の私大医学部に出題された問題を中心に,

 典型問題➡本質がわかりにくい典型問題

の順にテーマごとにレベルを上げていきます.

テーマごとというのがポイントで,

あまり頻出でないテーマは大胆に割愛することにしています.

レベル的には東京出版の「新数学スタンダード演習」に

すこし難しい問題を加えた感じでしょうか.

皆さんがご自分で勉強するのであれば,

「新数学スタンダード演習」か

数研出版の「2019入試問題集」なんかが良いと思います.

山本はこの数研の問題は結構お気に入りで,

解説が丁寧なので皆さんが自力で勉強するには

ちょうどよいかもしれません.

ただ問題数が多いので,ここは自分なりに

取捨選択が必要ですね.

 

模擬試験について 独学の成果のフィードバック

著作権的にどうかとも思いますが。

社会人になってから、独学で医学部の再受験をされた方の

エントリーを丸ごと転載しちゃいます。

今後、貴重になりそうな、受験生に有益となりそうな

情報を、いろいろなところから拾ってきて、パッケージにすることが

目的というのがこのブログの趣旨の一つですので。

独学する受験生にとって、実は一番こまるのが

自分の学習の進展度合がどれくらいになっているのかを

客観的なデータで知る方法がなかなかないということでは

ないでしょうか。

世の中には医学部受験専門の予備校というものがありますが。

ここの一年間の費用たるやそれはすごいもの。

でまあ、このブログでは、そもそも授業で習得することですとか。

問題演習でどんなことやればいいのさとかを、学習参考書だけで

カバーしていくための方法論を拾ってきて、ブログにしています。

おそらく、予備校で学ぶ内容のほとんどはそれでカバーできているのでは

ないかと。(2015年度の私大医学部の問題とかを参照しましたが、

予備校に通わないと習得できないようなもの、合格に不可欠な知識や

解法というのはそうそうあるものではないのではないかと思いました。

慶応医学部とかもちらりとみたんですけど。たしかにここの知識問題などで

妙な問題がでます。でも、こういうマニアックな知識はおそらく予備校でも

カバーしてないんではないでしょうか。)

でも、予備校でないとどうしてもいけないものがある。

そう、自分の学力をほかの受験生と比較することです。

受験は究極の相対評価ですから。

こればっかりは、大手の予備校のところにいきましょう。

テストをうける費用だけは出したほうがいいよね。

これでも、かなり費用の節約になると思います。

合格実績と費用の関連について思いをはせてしまうエントリーもちょっと

転載します。

僕がレアル大阪を作った最大の理由は、医学部専門予備校の費用と効果を適正なものにしたいという想いだ。だから、余計な指導は減らして必要なものを自由に選択するという制度でスタートした。結果、どうだったかというと、うまくいった部分とうまくいかなかった部分があった。余計な指導を強要されることなく自由に選択するというコンセプトは守られたが、逆に、全然学力が追いついていないのに授業を取らず、こちらの言うことを聞かず一人で自習で乗り切ろうとして失敗した生徒も出てしまった。今回の制度改革の最大の焦点はここだ。もともと学力がない生徒が自習で何とかすると言っても、何ともなるはずがない。あくまで合格することを目標にしているのだから、費用を節約して、結果学力の伸びも節約されてしまっては、何のための塾か。自学自習のフォローを重視するというコンセプトは変えないが、学習進度のチェックをもっと入念に行うことにした。その上で、結局要らない指導があるのならちゃんと選択できる余地はしっかり残した。その点も細心の注意を払って制度を作り直した。各自が自由に学習すると言っても、大きなカリキュラムの筋を一本通すこと自体はなくしていない。安易に個別専門オーダーメイドカリキュラムという言い訳も作らず、合格するのに必要な道筋をちゃんと準備することをないがしろにせず、そして、やるべきことをちゃんとやってもらう。そういうことだ。やるべきことがちゃんとできていれば、話を聞こうじゃないか。それが大人の世界である。やるべきことをやらなければ、普通は誰も話を聞いてくれない。その当たり前の事実をちゃんと伝えたい。そして、当たり前の積み重ねが合格につながるという事実をちゃんと伝えたい。それが制度を変えた理由である。皆の力を借りて、「正しい」塾を作ってゆきたい。

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こんばんは。模試の受け方について書こうと思っていたところナイスタイミングでご質問いただきました。
どの模試をどの程度受けたか、受け方のコツ、あたしの模試結果の変遷(パソコンが壊れてデータが全部飛んでしまったので、奇跡的に残っていたものと記憶のみですが)についてお伝えしたいと思います。


あたしは河合塾全統模試をマーク・記述・センタープレすべて受け、駿台は第1回マーク模試とセンタープレテストのみ受けました。その他、もし旧帝大志望なら河合・駿台の大学別模試は絶対受けた方が良いです。河合の医進模試は単科大学向けなので総合大学志望なら全統記述模試で良いです。小論文模試はおそらく大学生アルバイトが採点するので特に必要ないかなと思います。

河合塾の模試を受けるべき理由は2つあります。

1つめは、圧倒的に受験生が多く母集団が大きい試験であること。センター試験受験人数は50数万人で、河合マーク模試受験人数は30数万人です。受験人数が5万人程度の代ゼミ模試よりも合否判定は正確に出ます。

2つめは、マーク模試において問題の難易度がぶれず、最も本番のセンター試験に近い良問であることです。高校時代の予備校の恩師に聞いたのですが、それは、河合塾が他の予備校よりも圧倒的に模試作成にお金と時間をかけているからだそうです。各科目の実力講師が複数人集まり、討議を重ねるとのこと。他の予備校では、1~2人の講師に丸投げされることが多く、検討が不十分で、難易度や質が講師によってバラバラになることが多いそうです。

ちなみに駿台模試「Soon Die 模試」という別称で知られ、難易度が極端に高いです。河合との差別化を図るためか、おそらく旧帝大・医学部受験生しか相手にしてないんじゃないかなーと思います。旧帝大医学部受験生の方には駿台模試の方が好みという人もいるかもしれませんね。
「机の河合、生徒の駿台、講師の代ゼミ」とはよく言ったもので、模試作成が得意なのは河合塾、生徒が優秀なのは駿台、有名講師を輩出するのは代ゼミ(もっとも今は東進に取ってかわられたかも)、という意味です。少なくとも河合と駿台に関しては真理を突いてると思います。



次に、模試の受け方についてお話しします。模試をあますところなく利用すると良いです。模試は、受ける前、当日、受けた後の3回にわたってものすごく役に立ちます。

1つめは、模試を受ける前、模試の範囲を目安にして学習計画を立てることです。次回の模試の範囲を元に長期・短期の学習計画をたてると勉強がスムーズに進みます。たとえば、地歴や数ⅢCなど、秋には範囲が「全範囲」になるので、それまでに一通りの学習を終えなければなりません。本番を考えるとそれは理想的な進度だと思います。また、模試を受ける際に未習分野があれば、それだけで大幅に点数が下がってしまい、モチベーションが下がるだけでなく、その問題をテスト形式で解く貴重な機会も失われてしまいます。だから、模試までにその範囲を学習しておくということが大事です。

2つめは、模試当日、本番さながらの雰囲気を体験するということです。「あと数ヶ月後の本番の会場にいる」と自分の中で想定します。具体的には、持参する参考書、電車や休み時間の使い方、テスト中の時間配分、パニックになったときの対処法、書きやすい筆記具など、あたしは模試と本番ほぼ同じにしました。ちょっと細かいですが、お昼ご飯の量も…食べ過ぎると眠くなってやる気がなくなるので。。休み時間には、参考書の重要ページに付箋を貼っておき、すばやく見直して頭に叩き込んでいました。
もちろん、本番の試験では緊張するのですが、受験勉強中ずっと「模試は本番のように、本番は模試のように」を意識していたので少しマシだったと思います。

3つめは、模試を受けた後、自己採点して自分の弱みを知りそれをつぶすということです。なんで間違えたのか?なんで点数を落としたのか?分析して、参考書や問題集を使って不得意範囲をつぶします。ちなみに、「時間が足りなかった」はほんとい言い訳できません…限られた時間内で解くことを要求されるのが受験なので。
入試は総合点なので、1つでも不得意科目や分野があると本当に苦労します。得意科目をさらに完璧にして5点伸ばすより、不得意科目を20点伸ばして総合点を上げるのが合格への近道です。



それでは、1年間のあたしの模試結果変遷をご紹介します。

5月、第1回河合塾全統マーク模試。804点、84.6%。
勉強を始めて3ヶ月、目標は85%だったのでなかなかいい線いきました。でも、ビギナーズラックかもしれないし第1回目は簡単だろうし、現役生はまだまだ伸びるだろうし、全然油断はできませんでした。一応1年を通じてマーク模試はずっとA判定でした。
記録してあった点数内訳は、

英語 185
リスニング 42
国語 179
生物 89
化学 92
現社 98
数1A 47
数2B 72

国語はほとんどやらなかったけど文系時代の貯蓄がありました。英語は単語や文法は少しやったけど社会人時代のTOEICが功を奏したもよう。化学と現社はまったく独学で始めたのでこれは自分で自分を褒めてあげたい。
…ですが、ものの見事に数学です。特に1Aひどいですね…結局、最後まで1Aを克服できず苦しむことになりました。



5月、第1回河合塾全統記述模試。
これはデータが残っていないのですが惨憺たる結果でした。確か記述単体でE判定、マークとのドッキング判定でD判定でした。不得意科目の数学でガッツリやられ、マークとはまったく様子の異なる記述化学に戸惑ったまま試験が終わってしまいました。二次試験かなりヤバイと認識。



7月、第1回駿台全国マーク模試。773点、82%。
内訳は
英語 171
リスニング 44
国語 164
現社 78
数学ⅠA 81
数学ⅡB 69
生物 78
化学 89

日程がたった数日しか変わらない下記8月の河合模試の点数と比べても、いかにSoon Die 模試の問題が難しいかよくわかります。。とはいえこの得点率はなかなかショックでした。



8月、第2回河合塾全統マーク模試。855点、90%。画像が残っていました。志望者内2位なのでけっこう良い成績でした。

第二回河合模試

1Aはまだまだですが、2Bはかなり改善しました。この模試の後、自分がヤバイのはマークではなく記述ということを再確認したので、以降はマーク模試・本番直前以外のほとんどの時間を二次対策に当てました。



9月、第2回河合塾全統記述模試。
努力はしていましたがまだ記述力は身につかず。記述単体でE判定、マークとのドッキング判定でD判定。これを受けてますます二次対策を強化。



10月、第3回河合塾全統記述模試。
記述単体では依然としてE判定、マークとのドッキング判定でようやくC判定に。ずっと二次対策をしていて少しずつ手がかりをつかみ始めました。


11月、第3回河合塾全統マーク模試。809点、85.2%。
夏以降ほぼ二次対策をしていたので少し点数が下がったのは想定内でした。

第三回河合模試



12月、河合塾センタープレテスト。87%。
1Aは6割台でした。9割超えられなかったのは間違いなく数学が原因なのでセンター数学対策強化。



12月、駿台センタープレテスト。782点、82.3%。
またもや恐るべしSoon Die!!この時期、河合センプレ後の駿台センプレに打ちのめされるのが受験生あるあるです。
内訳は、
英語 173
リスニング 40
 数1A 79
数2B 71
現社 86
国語 161
化学 94
生物 78


本番の点数はこちらを参照。→独学受験勉強―センター試験成績開示とセンター勉強法サマリー―



今回、自分の模試の点数を振り返ってみてよくわかりましたが、やっぱり模試と本番の点数は密接にリンクしています。あたしは前期落ちて後期センター+小論+面接で受かったので、結局は練習どおりにしかできないということですね。。

皆さまも模試をフル活用して本番に備えてください。

大数の法則および期末試験範囲の問題演習解説 筑波OCW 完結

コイン 10回投げてもらう。

 

コインの裏表の確率がほぼ均等であることを実証した人から

帰宅していいとする。

 

100人実施して、帰宅できる人は何人か?

 

大数の法則

 

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ぴったり0.5になることを、10回コイン投げをやる人に要求すると

誰も帰宅できなくなるから、幅(あそび)として0.1は認める。

N = 10のとき、100人の学生の中で帰宅できる人の割合を

計算している。

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 N = 20にすると(投げるコインの回数20回)0.66から0.74くらいに

まであがるそうです。

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10回なげると 66人 (ここで停止すると大数弱法則)

さらに10回なげてもらう 8人帰宅

合計100回になっていると、残っている人は3人になっている。

さらにふっていると、いずれこの3名も帰宅。

大数の強法則

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製品を一定数、お客に販売する。

故障品だと、0.45の率でクレームがくる。

中には、故障品ではないのに、言いがかりをつけてくる人もいる。

そんなケースを想像しましょう。

お客からクレームが来たときに、本当にその製品が故障している

確率を計算しましょう。

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0.5答え

 

ベイズの定理は出題します。これさえできれば単位が来ると思ってはいけませんが。

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左右両翼に2つずつエンジンを積んでいる飛行機を事例にする。

それぞれの翼において、エンジンが最低1台可動していれば発着が無事

出来る。片方のつばさで、二つのエンジンが故障すると飛行できない。

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これは出題されるんではないかな・・・。(教授のつぶやき)

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置換積分を使う。

偶関数と奇関数の積になる。

その積によって構成されている関数は奇関数。

積分区間がプラスマイナスで対象だと、積分の実行結果は0になる。

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答え 0.25

部分積分を2回実行する必要あり。

みなさん解析学得意でしょ?

私はあまり好きではないですが。

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供分散 省略 出題しません。

convolution

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では、来週は5時間目 持ち込みはなしということで、

試験がんばってください。

 

 

 

確率変数の独立性 その1 筑波OCW

www.youtube.com

 

筑波大学を訪問している銭形警部がいる。

東京行き直通バスに乗り遅れる。

乗り継ぎのバスを使う必要が出てくる。

到着する時間はいつなのか?

ローカルのバスの乗車時間 X

高速バスの乗車時間  Y

それぞれに事情が異なる。

結合確率分布関数というテーマになります。

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X = 0のケースがわかればよい。Yがどうであってもいいという確率は

以下のように計算します。

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Y=2である確率であればよい。Xはどうでもよいという場合は

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以上は離散型

 

次は連続型を扱います。continuous

確率密度関数はこんなやつだったの覚えてますか?

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ここれ順序交換のテクニックが利用されている。

外側にdxをもってくることで下記のように微分の実行が可能になり、

∮が外れてくれる。

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前回学習した定理を再度掲載。

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これを用います。というか応用。

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大学から筑波センター 筑波センターから東京

銭形警部の移動の事例 今回の授業の最初に登場したケースです。

その前に、期待値操作の線形性について

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内側の∮はX

外側の∮はY

定数のaとbは外に出せる。

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Hがでる回数Xの期待値 np

いい道具はちょっと勉強するとわりと簡単に手に入る。

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現実のケースで確率の計算をしようとすると、対象になるXやYは

独立ではない場合のほうが多い。

もし、独立であると仮定すると、整然とした論理体型が出来るということを

ここでは俯瞰する。

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斜線をひいたエリアの面積計算をするために

余計な長方形を差し引いていくという考え方を用いる。

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XとYは独立だから、2変数関数のように記述されていたら、

単独の変数をとる2つの関数の積に書き換えることができる。

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X Yどちらで積分を実行しているのかに常に注目。

積分計算の対象になっていない文字は「定数」扱いでよい。

だから、外に出せるということ。

それと、求められた期待値は「単なる定数」であるということも

式変形でよく用いられます。

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システムの信頼性の話

3つの装置がすべて正常でないと、可動できないシステム(直列系)を

想定しています。1つでも故障するとストップさせないといけない。

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ベルヌーイ型の確率分布をとる事例で

どうやって期待値計算をしたかを復習しておきましょう。

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直列系のシステムに対して、3つの装置の内、1台だけ

生存していれば、システムとして可動できるというものも

ある。3台、すべて故障したときだけ、システムがダウンする。

こういったシステムを並列系という。

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それでは、この並列系のシステムが無事に可動しつづける期待値を

計算していきましょう。それが下記板書。

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並列系だと、1台ごとの正常に動く確率が0.6であっても

ダウンしない期待値は0.9を超えてしまいます。

並列系のシステム構想は、第2次大戦が終わってから出てきた。

技術レベルが低い状態で作った装置の1から3を、この手法で

組み込み、1台1台が心もとなくても、全体として高い信頼性を実現した。

信頼度計算

2006年8月14日の日本標準時午前7時38分頃に、旧江戸川を航行中のクレーン船がアームを江東線78、79号鉄塔間の送電架空線(275kV江東線1、2号)に接触させ、これを切断し[1]、葛南、世田谷、荏田の3か所の変電所が停電。系統切替により午前7時46分に荏田変電所が復旧したが、午前7時58分には系統から孤立していた品川火力発電所が自動停止(朝の需要の伸びに伴い供給力とのバランスが崩壊したため)、江東、城南変電所が停電した。これにより東京都心部で97.4万軒、神奈川県横浜市北部・川崎市西部で22万軒、千葉県浦安市市川市の一部で19.7万軒、合計約139.1万軒で停電が発生した[1]wikipediaより

東京ディズニーリゾートでは開園を約50分遅らせ、アトラクションを一時中止した。

メインの送電線とともに、バックアップ用の送電線も切断されるという事故だった。

www.youtube.com

再び、バスをのりつぐ銭形警部のケースに戻ります。

彼は乗りつぐルートを用いることで

どれくらいの所要時間をもって東京にたどり着くのか。

この期待値計算をするために、所要時間の確率分布を知りたい。

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Yをちょっと動かして、Xについて計算

Yをちょっと動かして、Xについて計算

ということを繰り返していけば

あらゆXYの組み合わせでa時間にたどり着く確率や期待値が計算できる。

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下記において必要なイメージ

XとYをいれるとある値Zがきまるような関数。

下の座標平面において、このブログを読んでいるあなたに向かって

Z軸がのびている。

さまざまなZの値によって「曲面」の一部、きりとられたものが出来上がる。

鳥取砂丘」? そしてこの曲面がなす体積を計算するということをしている。

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 食パンをイメージしましょう。

その食パンは薄くスライスされている。

そのスライスされた1枚1枚のパンの体積がわかれば、

食パン全体の体積が計算できる。

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キーワード 三角領域における2重積分

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分布関数があるんだったら、密度関数もあるんでしょう。

convolution 合成積

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 分布の再生性というトピック。

確率分布の族における再生性(さいせいせい、reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。 

 

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期待値

7本のくじがある。

そのくじには番号が付与されている。

引いたくじに記載されている番号に応じて、受け取ることが

できる賞金が異なる。

それぞれのくじを引く確率は均等ではないという問題設定。

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このくじ引きを何度も繰り返す。

そういう状況。もらえる金額の平均はいくらくらいになるのか?

expected value 期待値

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問題において期待値の計算をすると890円になります。

お金儲けができるチャンスには手数料が請求されます。

請求される参加費が、ペイするかどうかの判断をどうやってするのかという

問題。

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X=800 の確率

X=900 の確率

X=1000 の確率

X=1200 の確率

それぞれにもらえる賞金をかけていっている。

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ベルヌーイ型確率分布を示す確率現象においては

期待値はいくらになるのか。

w.pはwith probabilityの省略形です。

X = 1になる確率がpであるとしている。

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では2項型確率変数

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2項定理の計算方法を応用しています。

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一般的な式の形で期待値がでてきた。

裏と表が均等な確率で出るコインを10回降ると、

何回表がでそうか?

n = 10  p=0.5

期待値は5になる。直観とも合致している。

ロケットなり飛行機なりがN回目で初めて故障する確率

N-1回目までは無事に飛行している。

というようなケース。

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最後の行でなんとなく等比級数っぽいものがでているけど。

横にnが書かれているので、ダイレクトには無理。

何かを微分した形に似ていませんか?

作用素の交換というテクニックを用いています。

そうすると、等比級数の和の公式が利用できる。

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もっと、簡易にこの期待値を求める方法もあります。

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ポアッソン型で期待値をだす。

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X = 0

X = 1

X = 2

のどれかしかないケース

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0.25と出ます。

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上が離散型

下が連続型(これが成立することを下記の板書で証明していく。)

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law of the unconscious statistician

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確率変数のモーメントという概念について

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期待値は単なる数であることに注目してください。

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以下、性質2の証明を解説します。

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6面体、つまり普通のサイコロを1回ふった時の分散や期待値を計算する

という練習問題について

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左側の積分においては部分積分の実行。

以下は結果のみ示します。

分散の値 0.25

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σが小さいととんがる 大きいとなだらかになる。

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左側の積分 ミューを中心に左右対称の形。

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左側 奇関数と偶関数の積

右側 密度関数の全域における積分だから1

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確率分布 その2

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ベルヌーイrv

コイン 裏 0
コイン 表 1

ロケット打ち上げ 成功 0
         失敗 1

システム 可動 0
     停止 1

n個数の中からi個数取り出す 組み合わせ

色々なところで活躍しているモデルです。

 

煙検知センサー 3個

2個以上 検知すると センサーが鳴ります。

two out of three 冗長系

センサーも誤作動の可能性がある。

 

システムの信頼性というトピックにつながる

センサーが誤って鳴ってしまう確率 p とする。

火災警報装置 作動 → ベルが鳴る。

あるいは、いきなりスプリンクラーが動くこともある。

誤作動したスプリンクラーで図書館の本がだめになってしまったこともある。

どうやって誤作動したときの勘違いアクションを防げるのかという問題意識。

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航空機の事例 エアバスA380

左右の翼に2個ずつ エンジンが搭載。

2個以上が正常だったら飛行を継続することは出来る。

故障が起きない確率p

それぞれのエンジン故障の確率は互いに影響を与えない。

1個になってしまってはまずい。

 

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前回 登場した火山灰はこの独立性の仮定を成立できなくさせる。

つめるエンジンが2個数の飛行機だと、無事に帰ってくる確率はどう変化するのか?

こんなバリエーションもあります。

 

続いて「幾何学型の確率変数」

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あとは、等比級数の和の公式を使う。

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指数関数の冪級数展開を用います。

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組み合わせの計算がnが大きくなったときに大変になるのを

なんとか避けることができないものかという問題意識。

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これを応用していく。

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連続型確率変数

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連続型の場合、関数の値そのものは、確率にならない。

二つの関数の値の間がなす、面積が確率になっている。

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右連続と左連続の話題

分布関数は連続性をもつ。→離散型の確率変数(階段型)との最大の違い

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bとaの間をまったくランダムにとるという関数の表現は

下記の板書

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この関数のcdfをとってやる

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黄色で描いた関数グラフを式で表現すると下記の板書

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一様分布といいます。モンテカルロシミュレーションを扱うときに

登場する。

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Xが分布関数のどのあたりなのかを注目。

積分計算をする範囲が図形的にどういうものになるのかを考えましょう。

では、場合分けをして、積分を実行します。

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いずれ、確率過程というものも学習します。

ある機械がある。

正常に動いている → 故障 → 時間をかけて修理 → 現役復帰 → 故障

→ 時間をかけて修理 → 繰り返し

正常に動いている時間 修理で停止している時間

サイクルの繰り返しの中でこの時間はどう変化していくのかといった問題。

→ マルコフ過程

こういう事例を扱うときに指数分布というものを用いる。

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memory less property

無記憶性

飛行機 新品の飛行機導入 無事故で羽田大阪往来した。

10年間現役。

点検してみた。故障がない。

新品同様とみなす。→ この考え方

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10年使用した飛行機が1時間以上持つ確率

 

製造されてまもない飛行機が1時間以上持つ確率

 

これが等しくなっている。

他にも電子的な部品の寿命の確率分布などもこの無記憶性を

もっていることがある。

===

ブログの筆者より。

数学者は発見するだっけ。発明はしないんだって。

筑波OCW 確率変数 確率分布

ノートPC 使用耐用年数は?

1年?
2年?
5年の期間で、さあ、どれくらい使えるのか?

確率変数という概念を用いて計算します。
白いボール3個
赤いボール2個

白いボールは 2個か?
       1個か?
   それとも 0個か?

これは確率変数です。

「変数」という名称には多少難あり。

取り出し球の組み合わせ1と2だったらX=2
ということになります。
5と4だったら、X=0

Xはωが決まることで値が決定する。
ωの関数であるということも出来る。
だとすれば「確率関数」という名称のほうがふさわしかったかもしれない。


「区間」数直線をイメージしよう。
開区間 閉区間

区間には上記のようにいろいろなパターンがあります。
9通りかな。


上記の板書は「確率変数」の数学的なイメージ
2つの集合A 集合B 同一であることの証明 手法は?


確率変数の定義が2種類出てきた。この定義がまったく
同一の対象を表現していることの証明は時間が
余ったときに解説します。

設問が登場。
コインを2枚なげて、表が出る枚数の確率変数各自の確率を
計算する。
具体的な書き出し作業と数え上げの作業の様子は下記の板書。

次は裏と表のでる確率が均等ではないコインを投げる問題。
表が出たらストップという事例


4番めの問題は、「いつか」コインを投げていたら「表」がでる
という確率を計算せよという問題。
3回 10000回 N回 そして∞回。
それが1になるということを証明せよという問題。
以下その証明の解説

等比級数の和を求める手法を適用すると、計算が出来る。

冒頭に登場した非復元抽出 白3赤2の問題にもどります。
取り出される白球の個数を確率変数Xとしたとき、
横軸をX 縦軸をその確率として、分布を作成していく。
それが下の板書。

こういうのを分布関数という。
数学的な定義を与えますと、下記のようになります。

この関数は区間をみて、単調非減少。
グラフが右肩あがり。途中で下がったりしない。
広義 単調増加ともいっていい。
ところでこの確率変数が正負において∞の値をとる
時の確率の値はどうなるのか?それが下記。

確率変数を扱う計算についての性質なども出てくる。

確率変数の値をとある値にどんどん近づけていったとき、
縦軸の値はどうなるのかということをどう表記するのか?

上記はXがどんどん1に近づいている様子。

右から近づいていくのか、左から近づいていくのかで縦軸の値が
違ってくることに注意。

右連続とはどういう意味か。

1−0 という表記に注意。
このとき、1よりほんのすこし左の値を読み取りましょう。


区間の端が含まれているかどうかで、あつかう数値が違ってくる。

−0 の意味は「ほんのちょっと小さい」ということ。

離散型確率変数

再び 赤3 白2 の非復元抽出
Xは有限個数しかない。→ 加算無限の話になっていく
こういうのが離散型

この事例とは違うケース
0から1の数直線にハリを落としていく、思考実験
Xがどこに落ちるのかというのは加算無限ではない。
これは実数の個数を聞かれるということ。→ 連続型確率変数で扱う。

離散型確率分布の定義

サイコロを投げる。
「君が使用するサイコロの性質を述べよ。」と言われたら?

このようにサイコロの性質を説明されたら、
1から5までの分布だけではまだ確率は1になっていないから
説明として不十分だと指摘することができる。

pmfがわかれば、サイコロの性質の全容がつかめる。



分布関数 cumulutive distributive function → CDF

CDFとPMFの違いがわかる板書

演習