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模擬試験について 独学の成果のフィードバック

著作権的にどうかとも思いますが。

社会人になってから、独学で医学部の再受験をされた方の

エントリーを丸ごと転載しちゃいます。

今後、貴重になりそうな、受験生に有益となりそうな

情報を、いろいろなところから拾ってきて、パッケージにすることが

目的というのがこのブログの趣旨の一つですので。

独学する受験生にとって、実は一番こまるのが

自分の学習の進展度合がどれくらいになっているのかを

客観的なデータで知る方法がなかなかないということでは

ないでしょうか。

世の中には医学部受験専門の予備校というものがありますが。

ここの一年間の費用たるやそれはすごいもの。

でまあ、このブログでは、そもそも授業で習得することですとか。

問題演習でどんなことやればいいのさとかを、学習参考書だけで

カバーしていくための方法論を拾ってきて、ブログにしています。

おそらく、予備校で学ぶ内容のほとんどはそれでカバーできているのでは

ないかと。(2015年度の私大医学部の問題とかを参照しましたが、

予備校に通わないと習得できないようなもの、合格に不可欠な知識や

解法というのはそうそうあるものではないのではないかと思いました。

慶応医学部とかもちらりとみたんですけど。たしかにここの知識問題などで

妙な問題がでます。でも、こういうマニアックな知識はおそらく予備校でも

カバーしてないんではないでしょうか。)

でも、予備校でないとどうしてもいけないものがある。

そう、自分の学力をほかの受験生と比較することです。

受験は究極の相対評価ですから。

こればっかりは、大手の予備校のところにいきましょう。

テストをうける費用だけは出したほうがいいよね。

これでも、かなり費用の節約になると思います。

合格実績と費用の関連について思いをはせてしまうエントリーもちょっと

転載します。

僕がレアル大阪を作った最大の理由は、医学部専門予備校の費用と効果を適正なものにしたいという想いだ。だから、余計な指導は減らして必要なものを自由に選択するという制度でスタートした。結果、どうだったかというと、うまくいった部分とうまくいかなかった部分があった。余計な指導を強要されることなく自由に選択するというコンセプトは守られたが、逆に、全然学力が追いついていないのに授業を取らず、こちらの言うことを聞かず一人で自習で乗り切ろうとして失敗した生徒も出てしまった。今回の制度改革の最大の焦点はここだ。もともと学力がない生徒が自習で何とかすると言っても、何ともなるはずがない。あくまで合格することを目標にしているのだから、費用を節約して、結果学力の伸びも節約されてしまっては、何のための塾か。自学自習のフォローを重視するというコンセプトは変えないが、学習進度のチェックをもっと入念に行うことにした。その上で、結局要らない指導があるのならちゃんと選択できる余地はしっかり残した。その点も細心の注意を払って制度を作り直した。各自が自由に学習すると言っても、大きなカリキュラムの筋を一本通すこと自体はなくしていない。安易に個別専門オーダーメイドカリキュラムという言い訳も作らず、合格するのに必要な道筋をちゃんと準備することをないがしろにせず、そして、やるべきことをちゃんとやってもらう。そういうことだ。やるべきことがちゃんとできていれば、話を聞こうじゃないか。それが大人の世界である。やるべきことをやらなければ、普通は誰も話を聞いてくれない。その当たり前の事実をちゃんと伝えたい。そして、当たり前の積み重ねが合格につながるという事実をちゃんと伝えたい。それが制度を変えた理由である。皆の力を借りて、「正しい」塾を作ってゆきたい。

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こんばんは。模試の受け方について書こうと思っていたところナイスタイミングでご質問いただきました。
どの模試をどの程度受けたか、受け方のコツ、あたしの模試結果の変遷(パソコンが壊れてデータが全部飛んでしまったので、奇跡的に残っていたものと記憶のみですが)についてお伝えしたいと思います。


あたしは河合塾全統模試をマーク・記述・センタープレすべて受け、駿台は第1回マーク模試とセンタープレテストのみ受けました。その他、もし旧帝大志望なら河合・駿台の大学別模試は絶対受けた方が良いです。河合の医進模試は単科大学向けなので総合大学志望なら全統記述模試で良いです。小論文模試はおそらく大学生アルバイトが採点するので特に必要ないかなと思います。

河合塾の模試を受けるべき理由は2つあります。

1つめは、圧倒的に受験生が多く母集団が大きい試験であること。センター試験受験人数は50数万人で、河合マーク模試受験人数は30数万人です。受験人数が5万人程度の代ゼミ模試よりも合否判定は正確に出ます。

2つめは、マーク模試において問題の難易度がぶれず、最も本番のセンター試験に近い良問であることです。高校時代の予備校の恩師に聞いたのですが、それは、河合塾が他の予備校よりも圧倒的に模試作成にお金と時間をかけているからだそうです。各科目の実力講師が複数人集まり、討議を重ねるとのこと。他の予備校では、1~2人の講師に丸投げされることが多く、検討が不十分で、難易度や質が講師によってバラバラになることが多いそうです。

ちなみに駿台模試「Soon Die 模試」という別称で知られ、難易度が極端に高いです。河合との差別化を図るためか、おそらく旧帝大・医学部受験生しか相手にしてないんじゃないかなーと思います。旧帝大医学部受験生の方には駿台模試の方が好みという人もいるかもしれませんね。
「机の河合、生徒の駿台、講師の代ゼミ」とはよく言ったもので、模試作成が得意なのは河合塾、生徒が優秀なのは駿台、有名講師を輩出するのは代ゼミ(もっとも今は東進に取ってかわられたかも)、という意味です。少なくとも河合と駿台に関しては真理を突いてると思います。



次に、模試の受け方についてお話しします。模試をあますところなく利用すると良いです。模試は、受ける前、当日、受けた後の3回にわたってものすごく役に立ちます。

1つめは、模試を受ける前、模試の範囲を目安にして学習計画を立てることです。次回の模試の範囲を元に長期・短期の学習計画をたてると勉強がスムーズに進みます。たとえば、地歴や数ⅢCなど、秋には範囲が「全範囲」になるので、それまでに一通りの学習を終えなければなりません。本番を考えるとそれは理想的な進度だと思います。また、模試を受ける際に未習分野があれば、それだけで大幅に点数が下がってしまい、モチベーションが下がるだけでなく、その問題をテスト形式で解く貴重な機会も失われてしまいます。だから、模試までにその範囲を学習しておくということが大事です。

2つめは、模試当日、本番さながらの雰囲気を体験するということです。「あと数ヶ月後の本番の会場にいる」と自分の中で想定します。具体的には、持参する参考書、電車や休み時間の使い方、テスト中の時間配分、パニックになったときの対処法、書きやすい筆記具など、あたしは模試と本番ほぼ同じにしました。ちょっと細かいですが、お昼ご飯の量も…食べ過ぎると眠くなってやる気がなくなるので。。休み時間には、参考書の重要ページに付箋を貼っておき、すばやく見直して頭に叩き込んでいました。
もちろん、本番の試験では緊張するのですが、受験勉強中ずっと「模試は本番のように、本番は模試のように」を意識していたので少しマシだったと思います。

3つめは、模試を受けた後、自己採点して自分の弱みを知りそれをつぶすということです。なんで間違えたのか?なんで点数を落としたのか?分析して、参考書や問題集を使って不得意範囲をつぶします。ちなみに、「時間が足りなかった」はほんとい言い訳できません…限られた時間内で解くことを要求されるのが受験なので。
入試は総合点なので、1つでも不得意科目や分野があると本当に苦労します。得意科目をさらに完璧にして5点伸ばすより、不得意科目を20点伸ばして総合点を上げるのが合格への近道です。



それでは、1年間のあたしの模試結果変遷をご紹介します。

5月、第1回河合塾全統マーク模試。804点、84.6%。
勉強を始めて3ヶ月、目標は85%だったのでなかなかいい線いきました。でも、ビギナーズラックかもしれないし第1回目は簡単だろうし、現役生はまだまだ伸びるだろうし、全然油断はできませんでした。一応1年を通じてマーク模試はずっとA判定でした。
記録してあった点数内訳は、

英語 185
リスニング 42
国語 179
生物 89
化学 92
現社 98
数1A 47
数2B 72

国語はほとんどやらなかったけど文系時代の貯蓄がありました。英語は単語や文法は少しやったけど社会人時代のTOEICが功を奏したもよう。化学と現社はまったく独学で始めたのでこれは自分で自分を褒めてあげたい。
…ですが、ものの見事に数学です。特に1Aひどいですね…結局、最後まで1Aを克服できず苦しむことになりました。



5月、第1回河合塾全統記述模試。
これはデータが残っていないのですが惨憺たる結果でした。確か記述単体でE判定、マークとのドッキング判定でD判定でした。不得意科目の数学でガッツリやられ、マークとはまったく様子の異なる記述化学に戸惑ったまま試験が終わってしまいました。二次試験かなりヤバイと認識。



7月、第1回駿台全国マーク模試。773点、82%。
内訳は
英語 171
リスニング 44
国語 164
現社 78
数学ⅠA 81
数学ⅡB 69
生物 78
化学 89

日程がたった数日しか変わらない下記8月の河合模試の点数と比べても、いかにSoon Die 模試の問題が難しいかよくわかります。。とはいえこの得点率はなかなかショックでした。



8月、第2回河合塾全統マーク模試。855点、90%。画像が残っていました。志望者内2位なのでけっこう良い成績でした。

第二回河合模試

1Aはまだまだですが、2Bはかなり改善しました。この模試の後、自分がヤバイのはマークではなく記述ということを再確認したので、以降はマーク模試・本番直前以外のほとんどの時間を二次対策に当てました。



9月、第2回河合塾全統記述模試。
努力はしていましたがまだ記述力は身につかず。記述単体でE判定、マークとのドッキング判定でD判定。これを受けてますます二次対策を強化。



10月、第3回河合塾全統記述模試。
記述単体では依然としてE判定、マークとのドッキング判定でようやくC判定に。ずっと二次対策をしていて少しずつ手がかりをつかみ始めました。


11月、第3回河合塾全統マーク模試。809点、85.2%。
夏以降ほぼ二次対策をしていたので少し点数が下がったのは想定内でした。

第三回河合模試



12月、河合塾センタープレテスト。87%。
1Aは6割台でした。9割超えられなかったのは間違いなく数学が原因なのでセンター数学対策強化。



12月、駿台センタープレテスト。782点、82.3%。
またもや恐るべしSoon Die!!この時期、河合センプレ後の駿台センプレに打ちのめされるのが受験生あるあるです。
内訳は、
英語 173
リスニング 40
 数1A 79
数2B 71
現社 86
国語 161
化学 94
生物 78


本番の点数はこちらを参照。→独学受験勉強―センター試験成績開示とセンター勉強法サマリー―



今回、自分の模試の点数を振り返ってみてよくわかりましたが、やっぱり模試と本番の点数は密接にリンクしています。あたしは前期落ちて後期センター+小論+面接で受かったので、結局は練習どおりにしかできないということですね。。

皆さまも模試をフル活用して本番に備えてください。

大数の法則および期末試験範囲の問題演習解説 筑波OCW 完結

コイン 10回投げてもらう。

 

コインの裏表の確率がほぼ均等であることを実証した人から

帰宅していいとする。

 

100人実施して、帰宅できる人は何人か?

 

大数の法則

 

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ぴったり0.5になることを、10回コイン投げをやる人に要求すると

誰も帰宅できなくなるから、幅(あそび)として0.1は認める。

N = 10のとき、100人の学生の中で帰宅できる人の割合を

計算している。

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 N = 20にすると(投げるコインの回数20回)0.66から0.74くらいに

まであがるそうです。

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10回なげると 66人 (ここで停止すると大数弱法則)

さらに10回なげてもらう 8人帰宅

合計100回になっていると、残っている人は3人になっている。

さらにふっていると、いずれこの3名も帰宅。

大数の強法則

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製品を一定数、お客に販売する。

故障品だと、0.45の率でクレームがくる。

中には、故障品ではないのに、言いがかりをつけてくる人もいる。

そんなケースを想像しましょう。

お客からクレームが来たときに、本当にその製品が故障している

確率を計算しましょう。

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0.5答え

 

ベイズの定理は出題します。これさえできれば単位が来ると思ってはいけませんが。

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左右両翼に2つずつエンジンを積んでいる飛行機を事例にする。

それぞれの翼において、エンジンが最低1台可動していれば発着が無事

出来る。片方のつばさで、二つのエンジンが故障すると飛行できない。

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これは出題されるんではないかな・・・。(教授のつぶやき)

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置換積分を使う。

偶関数と奇関数の積になる。

その積によって構成されている関数は奇関数。

積分区間がプラスマイナスで対象だと、積分の実行結果は0になる。

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答え 0.25

部分積分を2回実行する必要あり。

みなさん解析学得意でしょ?

私はあまり好きではないですが。

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供分散 省略 出題しません。

convolution

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では、来週は5時間目 持ち込みはなしということで、

試験がんばってください。

 

 

 

確率変数の独立性 その1 筑波OCW

www.youtube.com

 

筑波大学を訪問している銭形警部がいる。

東京行き直通バスに乗り遅れる。

乗り継ぎのバスを使う必要が出てくる。

到着する時間はいつなのか?

ローカルのバスの乗車時間 X

高速バスの乗車時間  Y

それぞれに事情が異なる。

結合確率分布関数というテーマになります。

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X = 0のケースがわかればよい。Yがどうであってもいいという確率は

以下のように計算します。

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Y=2である確率であればよい。Xはどうでもよいという場合は

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以上は離散型

 

次は連続型を扱います。continuous

確率密度関数はこんなやつだったの覚えてますか?

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ここれ順序交換のテクニックが利用されている。

外側にdxをもってくることで下記のように微分の実行が可能になり、

∮が外れてくれる。

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前回学習した定理を再度掲載。

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これを用います。というか応用。

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大学から筑波センター 筑波センターから東京

銭形警部の移動の事例 今回の授業の最初に登場したケースです。

その前に、期待値操作の線形性について

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内側の∮はX

外側の∮はY

定数のaとbは外に出せる。

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Hがでる回数Xの期待値 np

いい道具はちょっと勉強するとわりと簡単に手に入る。

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現実のケースで確率の計算をしようとすると、対象になるXやYは

独立ではない場合のほうが多い。

もし、独立であると仮定すると、整然とした論理体型が出来るということを

ここでは俯瞰する。

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斜線をひいたエリアの面積計算をするために

余計な長方形を差し引いていくという考え方を用いる。

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XとYは独立だから、2変数関数のように記述されていたら、

単独の変数をとる2つの関数の積に書き換えることができる。

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X Yどちらで積分を実行しているのかに常に注目。

積分計算の対象になっていない文字は「定数」扱いでよい。

だから、外に出せるということ。

それと、求められた期待値は「単なる定数」であるということも

式変形でよく用いられます。

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システムの信頼性の話

3つの装置がすべて正常でないと、可動できないシステム(直列系)を

想定しています。1つでも故障するとストップさせないといけない。

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ベルヌーイ型の確率分布をとる事例で

どうやって期待値計算をしたかを復習しておきましょう。

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直列系のシステムに対して、3つの装置の内、1台だけ

生存していれば、システムとして可動できるというものも

ある。3台、すべて故障したときだけ、システムがダウンする。

こういったシステムを並列系という。

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それでは、この並列系のシステムが無事に可動しつづける期待値を

計算していきましょう。それが下記板書。

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並列系だと、1台ごとの正常に動く確率が0.6であっても

ダウンしない期待値は0.9を超えてしまいます。

並列系のシステム構想は、第2次大戦が終わってから出てきた。

技術レベルが低い状態で作った装置の1から3を、この手法で

組み込み、1台1台が心もとなくても、全体として高い信頼性を実現した。

信頼度計算

2006年8月14日の日本標準時午前7時38分頃に、旧江戸川を航行中のクレーン船がアームを江東線78、79号鉄塔間の送電架空線(275kV江東線1、2号)に接触させ、これを切断し[1]、葛南、世田谷、荏田の3か所の変電所が停電。系統切替により午前7時46分に荏田変電所が復旧したが、午前7時58分には系統から孤立していた品川火力発電所が自動停止(朝の需要の伸びに伴い供給力とのバランスが崩壊したため)、江東、城南変電所が停電した。これにより東京都心部で97.4万軒、神奈川県横浜市北部・川崎市西部で22万軒、千葉県浦安市市川市の一部で19.7万軒、合計約139.1万軒で停電が発生した[1]wikipediaより

東京ディズニーリゾートでは開園を約50分遅らせ、アトラクションを一時中止した。

メインの送電線とともに、バックアップ用の送電線も切断されるという事故だった。

www.youtube.com

再び、バスをのりつぐ銭形警部のケースに戻ります。

彼は乗りつぐルートを用いることで

どれくらいの所要時間をもって東京にたどり着くのか。

この期待値計算をするために、所要時間の確率分布を知りたい。

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Yをちょっと動かして、Xについて計算

Yをちょっと動かして、Xについて計算

ということを繰り返していけば

あらゆXYの組み合わせでa時間にたどり着く確率や期待値が計算できる。

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下記において必要なイメージ

XとYをいれるとある値Zがきまるような関数。

下の座標平面において、このブログを読んでいるあなたに向かって

Z軸がのびている。

さまざまなZの値によって「曲面」の一部、きりとられたものが出来上がる。

鳥取砂丘」? そしてこの曲面がなす体積を計算するということをしている。

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 食パンをイメージしましょう。

その食パンは薄くスライスされている。

そのスライスされた1枚1枚のパンの体積がわかれば、

食パン全体の体積が計算できる。

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キーワード 三角領域における2重積分

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分布関数があるんだったら、密度関数もあるんでしょう。

convolution 合成積

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 分布の再生性というトピック。

確率分布の族における再生性(さいせいせい、reproductive property)とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。 

 

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期待値

7本のくじがある。

そのくじには番号が付与されている。

引いたくじに記載されている番号に応じて、受け取ることが

できる賞金が異なる。

それぞれのくじを引く確率は均等ではないという問題設定。

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このくじ引きを何度も繰り返す。

そういう状況。もらえる金額の平均はいくらくらいになるのか?

expected value 期待値

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問題において期待値の計算をすると890円になります。

お金儲けができるチャンスには手数料が請求されます。

請求される参加費が、ペイするかどうかの判断をどうやってするのかという

問題。

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X=800 の確率

X=900 の確率

X=1000 の確率

X=1200 の確率

それぞれにもらえる賞金をかけていっている。

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ベルヌーイ型確率分布を示す確率現象においては

期待値はいくらになるのか。

w.pはwith probabilityの省略形です。

X = 1になる確率がpであるとしている。

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では2項型確率変数

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2項定理の計算方法を応用しています。

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一般的な式の形で期待値がでてきた。

裏と表が均等な確率で出るコインを10回降ると、

何回表がでそうか?

n = 10  p=0.5

期待値は5になる。直観とも合致している。

ロケットなり飛行機なりがN回目で初めて故障する確率

N-1回目までは無事に飛行している。

というようなケース。

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最後の行でなんとなく等比級数っぽいものがでているけど。

横にnが書かれているので、ダイレクトには無理。

何かを微分した形に似ていませんか?

作用素の交換というテクニックを用いています。

そうすると、等比級数の和の公式が利用できる。

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もっと、簡易にこの期待値を求める方法もあります。

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ポアッソン型で期待値をだす。

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X = 0

X = 1

X = 2

のどれかしかないケース

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0.25と出ます。

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上が離散型

下が連続型(これが成立することを下記の板書で証明していく。)

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law of the unconscious statistician

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確率変数のモーメントという概念について

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期待値は単なる数であることに注目してください。

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以下、性質2の証明を解説します。

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6面体、つまり普通のサイコロを1回ふった時の分散や期待値を計算する

という練習問題について

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左側の積分においては部分積分の実行。

以下は結果のみ示します。

分散の値 0.25

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σが小さいととんがる 大きいとなだらかになる。

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左側の積分 ミューを中心に左右対称の形。

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左側 奇関数と偶関数の積

右側 密度関数の全域における積分だから1

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確率分布 その2

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ベルヌーイrv

コイン 裏 0
コイン 表 1

ロケット打ち上げ 成功 0
         失敗 1

システム 可動 0
     停止 1

n個数の中からi個数取り出す 組み合わせ

色々なところで活躍しているモデルです。

 

煙検知センサー 3個

2個以上 検知すると センサーが鳴ります。

two out of three 冗長系

センサーも誤作動の可能性がある。

 

システムの信頼性というトピックにつながる

センサーが誤って鳴ってしまう確率 p とする。

火災警報装置 作動 → ベルが鳴る。

あるいは、いきなりスプリンクラーが動くこともある。

誤作動したスプリンクラーで図書館の本がだめになってしまったこともある。

どうやって誤作動したときの勘違いアクションを防げるのかという問題意識。

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航空機の事例 エアバスA380

左右の翼に2個ずつ エンジンが搭載。

2個以上が正常だったら飛行を継続することは出来る。

故障が起きない確率p

それぞれのエンジン故障の確率は互いに影響を与えない。

1個になってしまってはまずい。

 

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前回 登場した火山灰はこの独立性の仮定を成立できなくさせる。

つめるエンジンが2個数の飛行機だと、無事に帰ってくる確率はどう変化するのか?

こんなバリエーションもあります。

 

続いて「幾何学型の確率変数」

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あとは、等比級数の和の公式を使う。

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指数関数の冪級数展開を用います。

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組み合わせの計算がnが大きくなったときに大変になるのを

なんとか避けることができないものかという問題意識。

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これを応用していく。

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連続型確率変数

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連続型の場合、関数の値そのものは、確率にならない。

二つの関数の値の間がなす、面積が確率になっている。

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右連続と左連続の話題

分布関数は連続性をもつ。→離散型の確率変数(階段型)との最大の違い

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bとaの間をまったくランダムにとるという関数の表現は

下記の板書

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この関数のcdfをとってやる

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黄色で描いた関数グラフを式で表現すると下記の板書

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一様分布といいます。モンテカルロシミュレーションを扱うときに

登場する。

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Xが分布関数のどのあたりなのかを注目。

積分計算をする範囲が図形的にどういうものになるのかを考えましょう。

では、場合分けをして、積分を実行します。

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いずれ、確率過程というものも学習します。

ある機械がある。

正常に動いている → 故障 → 時間をかけて修理 → 現役復帰 → 故障

→ 時間をかけて修理 → 繰り返し

正常に動いている時間 修理で停止している時間

サイクルの繰り返しの中でこの時間はどう変化していくのかといった問題。

→ マルコフ過程

こういう事例を扱うときに指数分布というものを用いる。

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memory less property

無記憶性

飛行機 新品の飛行機導入 無事故で羽田大阪往来した。

10年間現役。

点検してみた。故障がない。

新品同様とみなす。→ この考え方

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10年使用した飛行機が1時間以上持つ確率

 

製造されてまもない飛行機が1時間以上持つ確率

 

これが等しくなっている。

他にも電子的な部品の寿命の確率分布などもこの無記憶性を

もっていることがある。

===

ブログの筆者より。

数学者は発見するだっけ。発明はしないんだって。

筑波OCW 確率変数 確率分布

ノートPC 使用耐用年数は?

1年?
2年?
5年の期間で、さあ、どれくらい使えるのか?

確率変数という概念を用いて計算します。
白いボール3個
赤いボール2個

白いボールは 2個か?
       1個か?
   それとも 0個か?

これは確率変数です。

「変数」という名称には多少難あり。

取り出し球の組み合わせ1と2だったらX=2
ということになります。
5と4だったら、X=0

Xはωが決まることで値が決定する。
ωの関数であるということも出来る。
だとすれば「確率関数」という名称のほうがふさわしかったかもしれない。


「区間」数直線をイメージしよう。
開区間 閉区間

区間には上記のようにいろいろなパターンがあります。
9通りかな。


上記の板書は「確率変数」の数学的なイメージ
2つの集合A 集合B 同一であることの証明 手法は?


確率変数の定義が2種類出てきた。この定義がまったく
同一の対象を表現していることの証明は時間が
余ったときに解説します。

設問が登場。
コインを2枚なげて、表が出る枚数の確率変数各自の確率を
計算する。
具体的な書き出し作業と数え上げの作業の様子は下記の板書。

次は裏と表のでる確率が均等ではないコインを投げる問題。
表が出たらストップという事例


4番めの問題は、「いつか」コインを投げていたら「表」がでる
という確率を計算せよという問題。
3回 10000回 N回 そして∞回。
それが1になるということを証明せよという問題。
以下その証明の解説

等比級数の和を求める手法を適用すると、計算が出来る。

冒頭に登場した非復元抽出 白3赤2の問題にもどります。
取り出される白球の個数を確率変数Xとしたとき、
横軸をX 縦軸をその確率として、分布を作成していく。
それが下の板書。

こういうのを分布関数という。
数学的な定義を与えますと、下記のようになります。

この関数は区間をみて、単調非減少。
グラフが右肩あがり。途中で下がったりしない。
広義 単調増加ともいっていい。
ところでこの確率変数が正負において∞の値をとる
時の確率の値はどうなるのか?それが下記。

確率変数を扱う計算についての性質なども出てくる。

確率変数の値をとある値にどんどん近づけていったとき、
縦軸の値はどうなるのかということをどう表記するのか?

上記はXがどんどん1に近づいている様子。

右から近づいていくのか、左から近づいていくのかで縦軸の値が
違ってくることに注意。

右連続とはどういう意味か。

1−0 という表記に注意。
このとき、1よりほんのすこし左の値を読み取りましょう。


区間の端が含まれているかどうかで、あつかう数値が違ってくる。

−0 の意味は「ほんのちょっと小さい」ということ。

離散型確率変数

再び 赤3 白2 の非復元抽出
Xは有限個数しかない。→ 加算無限の話になっていく
こういうのが離散型

この事例とは違うケース
0から1の数直線にハリを落としていく、思考実験
Xがどこに落ちるのかというのは加算無限ではない。
これは実数の個数を聞かれるということ。→ 連続型確率変数で扱う。

離散型確率分布の定義

サイコロを投げる。
「君が使用するサイコロの性質を述べよ。」と言われたら?

このようにサイコロの性質を説明されたら、
1から5までの分布だけではまだ確率は1になっていないから
説明として不十分だと指摘することができる。

pmfがわかれば、サイコロの性質の全容がつかめる。



分布関数 cumulutive distributive function → CDF

CDFとPMFの違いがわかる板書

演習

筑波OCW 確率論 

1-3
条件付き確率

今回はこれが計算できるようになることが目的。

赤色のさいころ
黒色のさいころ
二つ同時に降る。
合計が6になると勝ち。
勝率は?

二つふって、
赤色が4だということはわかる。
黒色が何色かわからない。

この状態でゲームに降りるかそのまま続行するか選べる。

赤4 黒は1から6のどれか。

黒2であれば勝利

確率はあがります。

起こりうる世界にどんな変化が起きているのか?

赤4と知ったら、「標本空間」が変わる。

ある家庭で二人の子供がいる。(年長 年少)
二人とも男子である確率

1人は男子 では二人とも男子である確率?
(B B) ( B G ) ( G B)

年長が男子 では二人とも男子である確率?

乗法公式

風邪を引いたら熱がでるか?

原因と結果

結果から原因を探る
熱が出ている→ 風邪をひいているのか? (診断の技)

準方向の推論

逆方向の推論

ベイズの定理


乗法公式の一般系


標本空間を分割するという計算手法
部分 部分は重なり合わない


全確率の公式

A B Cのトーナメント
Aの優勝確率


AはB or C どちらと対戦するのか。


それぞれ、対戦の組み合わせにより勝率は変わっていく。得手不得手 拮抗 などなど。

conditional probability
条件付き確率

条件付き確率は、確率の公理3つをすべて満足することの証明。

サリエリが、パーティに出席した3人の紳士にシルクハットを差し出す。
そして「この中に名刺をいれてくれ」と依頼する。

入れてもらった名刺をシャッフル。

A B Cに順番にひかせる。(3人は目隠しをしている)

自分の名刺を引き当てる人が少なくとも1人はいるという確率


Bさん AがBをひくかどうかで状況がかわる。
Cさん A Bによって状況がかわる。


アントニオ・サリエリ(Antonio Salieri、1750年8月18日 - 1825年5月7日)はイタリアのレニャーゴ生まれの作曲家。
生前は神聖ローマ皇帝オーストリア皇帝に仕えるカペルマイスター(宮廷楽長)としてヨーロッパ楽壇の頂点に立つ人物であり、またベートーヴェンシューベルト、リストらを育てた名教育家でもあった。
死後はその名と作品を忘れられたが、戯曲『アマデウス』(1979年)およびその映画版(1984年)の主人公として取り上げられたため、知名度が上昇。

続いて 独立事象という話題について

定義

もう一方の事象がどうなったかという情報が入手できてもできなくても、
当方の事象の確率に変化がない。
F
が起きているかどうかの情報を10万円で売ると言われたら?
断ればいいということ。

上記のようなことを証明していく。

reliability
航空機 自動車
複数のエンジンが搭載されている(飛行機)
747 4004つのエンジンを搭載している

トリプルセブン 2つのエンジンでもっと大きい機体。


片方のエンジンに故障が起きているかどうかは、
もう片方のエンジンに故障が起きるかどうかの確率に影響を与えない。
という仮定のもとで、片側のエンジンが停止しても飛行を続ける。
成田空港からアメリカ東海岸をフライト
成田離陸直後にエンジントラブルが片方でおきると、西海岸で経由。
緊急着陸がどういう状況で必要かどうか。
一挙に全部停止することもごくまれにあります。
4つ積んでいて全停止。 火山灰(共通原因故障)が舞っている上空を飛んでいて起きた。
灰による視界不良
灰にガラス成分→熱で溶ける→エンジン止める

ブリティッシュ・エアウェイズ9便のボーイング747ジェットエンジンが、火山灰が詰まったことにより4基とも停止し、同機は滑空状態となった。ゼロに近い確率だといわれていた四発機の全エンジン停止という、未曾有の事態に乗員達は悪戦苦闘を重ね、どうにかエンジンの再始動に成功し、ジャカルタ緊急着陸に成功。死傷者は出なかった。それまで何の対策も採られていなかった航空路における火山の噴煙に対する対策が世界的に急がれるきっかけとなった事故である。

整備がトラブルを産むケース。
間違った手順で直される。Oリング 潤滑油 のもれ。
同じ人が行った整備をうけた飛行機はすべてトラブルを起こす。
(エンジン故障の確率が独立性を失っているという事例)


自動車の高度な運転支援システムをはじめ、家の中でも機器にコンピュータが内蔵され、いわゆる“賢い機械”が身の回りの至る所に存在するようになりました。これまでは人間中心で、機械は言われた通りのことだけをするのが望ましいとされてきました。それは機械の行動に人が振り回されないようにするためです。

 ですが、自動車の衝突回避機能のような場合、人が判断していては間に合わないため、機械に最終的な決定権を与えるようになっています。今後の高齢化を考えると、高齢者の運転が増えますが、視覚や聴覚の能力が弱くなった高齢者に「運転を注意してください」と言っているだけでは問題は解決しません。身体的負担が少なく自動車を運転できるように、代替できるところは機械に依存せざるを得ないでしょう。

 そうなると、最終的な判断を人と機械のどちらが行使するのかという権限の問題が今後ますます顕在化してきます。

 一方、賢い機械が出てきたことで、さまざまな場面で信頼がおけるようになってきました。例えば自動車の場合、運転者はある場面でブレーキをかけてくれたのであれば、この場合でもブレーキをかけてくれるだろうと思ってしまいます。正確な理解があって機械に依存するのは正しいことですが、中途半端な知識で理解してしまうと、あたかも機械に限界がないかのように感じてしまいます。これは過度の依存となります。

 システムの自動化は航空機の分野で先行して進んでいますが、訓練を受けた操縦士でも人間と機械との間で意図の対立が起こり、予期しない状況が生じています。自動車や家の中の機器などでは、訓練どころか説明書も読まずに利用するユーザーが多数いるわけです。

 システムが賢いほど、利用した人間は行動を変えてしまいます。こうした行動の変化が我々に悪影響を及ぼさないようにシステムをデザインすることが今後、非常に重要になるでしょう。人と機械が共存するシステムをいかにデザインするかは、世界各国で非常に重要なテーマです。日本人がどのように人と機械の協調と調和の問題を考えているのか、世界に示す良い機会です。システム概念をデザインする設計者やエンジニアの方々に本書が貢献できれば幸いです。


白いボール5個 赤いボール3個 一つの箱に入っている。
復元抽出

非復元抽出

====後半====

ベイズの定理
疾患を具体例に。

病気1 熱がでる 発病者の9割
病気2
病気3


病気1が発病した人はかなりの確率で発熱ということになる。

なじみ深い病気かどうかを判断する指標→ 確率を用いる

事例
とある患者が来院する。
熱っぽいといっている。 病名はどれ?

病名1 で正解の確率97.5%らしい

設定をかえる
1 を0.01
3を0.90にする。

この場合でも病気1と判断するとなると。
この設定ではそもそも病気1が滅多に発症しない病気。
病気1が、治療法のない病気だと、告知を受けた患者はショック。

「確率的な情報の扱い」

病気2である確率は50%

病気3 26%

直観と確率的推論のギャップがよくわかる話題になります。

外国にいくのが大好きなコロンブス
50人中30人が当選する海外旅行キャンペーン

一足先にマゼラン君が「君は当選していたよ。」という。

マゼランは3回に2回は嘘をつく。

ベイズの定理はこういう状況で、コロンブスが当選している確率を
計算する。

標本空間の中のどれか一つが必ず起きる

それぞれのおこりやすさを決めてやる。

ある事象が起きているときはFということが観測されることがある。

いまFが引き起こされたことを引き起こしているのはEのうちのどれか?

F熱がある 観測情報
E 病名1、2、3 事前情報

観測情報を使って、事前情報をアップデートする。→ 事後情報(観測が行われた後)



証明は簡易。暗記しようとしないほうがいいよ。

全確率の公式が証明に利用されている。

大学院の入試でベイズの定理を証明せよという問題が出たことがあります。

さて、コロンブスマゼランの例題の確率を計算する。
まずは条件付き確率の定義に忠実になろう。

事実当選していて、(0.6)マゼランがほんとのことを言う。

事実はずれていて、(0.4)マゼランが嘘をいっている。

この場合、分母に、分子と同一の確率があることを確認しましょう。その先のエラーを防ぐ。
自然言語に書かれたものから数字を読み取っていく。

あとは代入するのみ。

回答 7分の4

この解き方をみても、この定理は暗記する代物ではないことを納得してほしい。

従って、中立的な視点では「大西洋航路の発見」、つまりヨーロッパとアメリカ大陸を結ぶ「航海路を発見した」というのが、その真の功績であると言える。コロンブスのアメリカ大陸到着以前はユーラシア大陸南北アメリカ大陸の住人や国家、文明の間には相互の文化や経済、政治などに影響を与え合うほどの交流がほとんど無かったことから、「世界の一体化を促進した」とする評価もできる。そしてその評価の中には、聖書に地球が球体であると描写された記述があり、コロンブスの行動によりそれが正確であると立証されたこともあげられる。

マゼランはヨーロッパから東洋の香料諸島(モルッカ諸島)への西回りでの渡航ルート発見を目指して旅立ったポルトガル人航海者である。1519年スペイン王の信任を得てスペイン船5隻の艦隊を率いてスペイン・セビリアを出発したマゼランは南アメリカ大陸南端のマゼラン海峡を発見して太平洋に到達し、マゼランは途中1521年フィリピンで戦死したが、残された艦隊が1522年に史上初めての世界一周を達成した


大事なのは「定式化」

M個の選択肢があるクイズ
探偵ポアロは挑戦。
ある問題が、彼が正解できる(答えを知っている)ものである確率はp
1-pの時はM個数の中からランダムに選んでファイナルアンサーとする。

彼は正解して、賞金を手に入れた。

(実際の出演者が、鉛筆を転がして解答していたのをみたことがあるそうです。)

ポワロは正解すべく知識をもっていたのだろうか。

(映画で、クイズによる賞金獲得者が、「問題の事前漏洩に成功して、いかさまで正解したのではないか」
と脅されるというストーリーもあったらしい。)

もともとポワロは正解を知っていたのか? それとも、偶然当たったにすぎないのか?

P=0.2であると設定。
主催者の悪意が発動するというケース。(ポアロが苦手なジャンル)

そしてMが3 0.43

あるいはMが10 0.71

ベルギーで警察官として活躍し、署長にまで出世した後、退職していた。第一次世界大戦中、ドイツ軍の侵攻によりイギリスに亡命することを余儀なくされる。亡命者7名と共に、イギリスの富豪夫人(エミリー・イングルソープ)の援助を受けて、スタイルズ荘のそばにあるリーストウェイズ・コテージで生活をしていた。そこで、以前にベルギーで知り合っていた友人のアーサー・ヘイスティングズ中尉と再会し(1916年7月17日)、殺人事件を解決する(『スタイルズ荘の怪事件』)。その後、イギリスでヘイスティングズ大尉と同居し、探偵として活躍し、数多くの難事件を解決する。


これで確率はどう変化するのか。

機械A 20% 製造担当 欠陥 5%
機械B 30% 欠陥 5%
機械C 50% 欠陥 3%

製品の不良率

目の前にあるのは不良品
どの機械が製造したのか?


ではBからの欠陥である確率は?

Cの確率は? →余事象の考え方で計算できる。

人間の直観は、確率的には?
ほんの少しの数字の変化が、確率にどれだけ大きな変化を起こすのか?
この2点を例題で学びましょう。
===================
全人口0.5%が怖い病気にかかっている。
すぐに対応しないと命取り。

99%で、検出できる薬が開発された。

とある人が検査をうけたら「陽性」といわれた。

「入院しろ」といわれる。

本当にその病気にかかっている確率を計算しましょう。
=======================
結論 33%です。

99%の的中率の検査薬なのに・・・。



答え 0.332

病気にかかることそれ自体が稀だから。

99%から的中率が95%に下がると確率はどう変化するのか?
0.332→0.087

世の中にはものすごく感度が高い問題がある。

情報の領域でもこういうの多いです。