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駿台受験シリーズ 分野別 受験数学の理論7 微分法・積分法の基礎

駿台受験シリーズ 分野別 受験数学の理論7 微分法・積分法の基礎

数学II・B実戦演習―新課程版 (駿台受験シリーズ)

数学II・B実戦演習―新課程版 (駿台受験シリーズ)

数学?の分野で、微分積分の基礎。
そして、数学?で学習した「三角比」の発展版の
三角関数対数関数。指数関数。
こういった分野の学習が一通り終了。
そして、「受験数学の理論」では教科書と問題集が出版されているけど、残念ながら、この分野では「教科書」のほうしか出版されていない。
だから、単元の導入や、基本的な例題の練習は「教科書」のほうで、学習することができるけど、「問題演習」をすることは、このシリーズではできない。
そこで、「理論シリーズ」ではない、ほかの学習参考書で
代替する方法をいくつか考えて、
色々な情報を調査したり、実際に書店に足を運んで、
どの問題集で学習したら効率がよさそうか、
検討することにした。
最初は「?対?対応」の数学?を部分的にやろうかなとも
思ったが、折角なので、すこしきつめのレベルの演習もしてみようと。
なぜ、そんな心境になったかというと、数学?の微分積分の学習が一通り、終わっていたから。
だったら、数学?の微分積分や、微分積分の処理が絡まない
初等関数の問題演習は、ある程度、上のレベルの問題集を使用しても支障はないだろうと判断することにした。

微分積分法の基礎 目次

第1章 微分法の基礎 
?-? どのようにすると曲線の接線の傾きがわかるのか?
1-2 極限
1-3 微分係数導関数
1-4 微分公式
1-5 積の微分法と合成関数の微分
1-6 関数とグラフ
1-7 3次関数と4次関数のグラフ
1-8 曲線の接線と2曲線が接する条件
1-9 方程式 不等式の応用
1-10 演習

第2章 積分法の基礎
2-1 定積分の定義
2-2 定積分の3つの計算方法
2-3 積分の計算練習
2-4 面積
2-5 体積
2-6 積分を含む方程式
2-7 速度と加速度

付録A
解と係数の関係
和を表す記号
数列の極限について
微積分の学習に必要な基礎用語

付録B 本編の内容に関する補足
グラフの凸凹について
多項式のグラフのサンプル
円と放物線が接する条件

そもそもは、おなじみの関数のグラフを描いて、
任意の点から描くことができる「接線の傾き」を計算
するにはどうすればいいのかという視覚的な問題意識
から始まる。
そこから、だんだん、この求め方の計算のステップを
学んでいく。
傾きの計算ができるようになるように「極限」の
学習をする。
単元が進むと、今度は、見慣れた多項式微分方法を
学習することになる。
数学3とは違って、やたらに、煩雑な微分計算の公式は
登場しない。かなりとっつきやすいはず。
数学3の単元では、この「基礎編」で習った単元の
一つ一つが発展させられた形で、学習をすることになる。
2次元の平面を描いて、そこに曲線が描かれることに
なるのがこの分野の問題になる。
そうなると、その問題は「図形や領域」の分野に
見えてくる。
一方で、曲線と、直線の交点を求めようとすると、
それは、二つの代数方程式に共通する解を求める手順と
同じになるので、「式と計算」の問題にも見える。
話題になっている、交点の位置や、最大値と最小値の問題を関連させていくと、「方程式の解の配置問題」になってくる。
スタートでは、はなはだ、図形的な問題意識で学習が始まりながら、単元の終わり近くでは、どんどん色々な計算手法が
出てくるので、代数の分野と図形の分野の往来が、そのまま
この単元で学んだ知識を扱う問題演習の性格に反映することになる。
おおよそ、「実戦演習」「理系のための」の2冊の問題演習でも、この区分けに基づいて、問題が作成されていたように
思う。
ここでも、「横割り」の問題演習というものがどうやったら適切にできるようになるのかという、テーマがあるように思う。
「本格」84問を扱いました。
三角関数 20問
指数対数関数 20問
微分 19問
積分 17問
積分と空間図形 8問

実戦 色々な関数
例題7つ
31問の演習

微分積分 例題8問
24問の問題演習

合計70問
7月10日頃から初めて9月3日にて、一通り終了。
合計154問
20問から25問平均で処理をしたことになる。

受験数学の理論 「関数」の目次

第1章 関数とグラフ
1-1 関数
1-2 関数のグラフ
1-3 関数の増減
1-4 補足

第2章 2次関数
1-1 2次関数と2次関数のグラフ

第3章 三角関数
3-1 弧度法
3-2 余弦と正弦
3-3 正接
3-4 三角関数のグラフ
3-5 三角関数を含む方程式と不等式
3-6 三角比と図形
3-7 三角関数の加法定理とその周辺の定理
3-8 補充問題

第4章 指数関数と対数関数
4-1 指数関数の定義
4-2 指数関数のグラフ
4-3 指数関数を含む方程式と不等式
4-4 対数の定義と性質
4-5 対数関数のグラフ
4-6 常用対数とその応用
4-7 対数関数を含む方程式と不等式

第5章 分数関数と無理関数
5-1 分数関数
5-2 無理関数

付録A
三角関数の諸公式
主な角の三角関数の価
実際に、指数にXがはいったものを解く。
2のN乗の価
三角関数
常用対数

さすがに、高校の現役だったときに一通り学習した
範囲だったので、とっつきはそんなに悪くない。
対数関数の復習をするときに、やれ真数条件だの、
底の変換公式だの、多少困惑がないわけではなかったけど。
基本的には、1次方程式や2次方程式のちょっと違う
バージョンを、解くために学習している。
「常用対数」の問題は、かなりパタンになっているように
思う。
FocusGoldの問題を少し見たが、やはり今回の問題演習で取り組んだところと、ほとんど同じような問題が掲載されていた。やはり、このレベルでは、出題される問題のパターンに
限りがあるということなのだと思う。
三角関数も、数学3Cの分野で行列と合わさって、
点や直線の回転などが計算できるように応用されると
すこしやっかいになってくるけど、
ここでは、色々とある公式を使って、関数の応用問題や
不等式の問題が解けるようになると、どうにかこうにか、
攻略ができるようになってくる。
今回、夏休み中で、仕事が忙しかったり、
家のことでごたごたしたことがあったりで、正直なところ、
数学の演習時間にあまり集中が出来ていなかったように
思う。
そのことが、定着の悪さにてきめんにでているように
思う。
やはり、思いっきり、繰り返して、「想起」をさせないと、
いまの頭では容赦なく、解法は消えていくのだなということを実感した。
一方で、復習の作業をおこたりなく、実施したら問題なく、
パターンの暗記ができるということもわかったけど。
このバランスが問題。
では、一度、わすれたパターンの回復にどれくらい時間がかかるのかとか。長期で、受験勉強を継続するとそういう問題が起きてくる。
携帯電話の写真に、問題集や解答をどんどん取り込んで、
隙間の時間に数学の復習が手軽にできるようにする
必要があるように思う。
今回の単元ではiPhone4Sのカメラ機能をかなり多様する
ことになった。
カメラの画質がよくなったので、問題集のページを撮影して、アルバムで開いても、十分、問題の文章や式の細かい数字や記号を読み取ることができるようになったのは大きい。
おかげで、重くてかさばる問題集の持ち歩きをしなくても、
iPhoneさえもっていれば、あとはメモ帳ひとつ持ち歩くだけで、どんなところでも、演習も復習もすることができる。
いままで、こういった資格勉強系で、iPhoneでできるのは
「暗記系」の文系ものばかりだと思ったけど、
工夫次第では、あらゆる受験科目の勉強ができるように
なってきたなと思う。
行く末は、高校物理の勉強もしていきたいと思っているので、今回、微分積分の基礎や、色々な初等関数の学習で
iPhoneを活用した経験をもっと活かして、効率的な
復習、暗記作業ができるようになったらいいなと思う。
限りある隙間の時間で膨大な暗記が伴う勉強をするために
必要な欠陥のようなものが浮かび上がった。
単純な話だけど、一度覚えた内容をどうやって「維持」
するのか。
この問題。
問題の解き方のそのままの再現が、出来なくなっていても、
なんとなく、その時に、習得した計算方法や、考察方法なりが、実力問題で活用されていることを祈りたいけど。
世の中、そんなには都合よくできていないとも。
今回140問近い数をこなしてわかったのは。
「実戦演習」のほうが、「理系のための本格」よりも
しんどいつくりになっているということ。
前者の問題は、一問一問、取り組むたびに泣きそうになった経験があるけど、後者の「理系のための」のほうはそうでもなかった。
「最高峰の数学」の共著者だったので、「さぞかし」と思って、覚悟していたのだが、ちょっと拍子抜けだったかもしれない。Amazonでこの問題集の酷評があったけど、あながちまちがっていないのかなと。
それと、「定積分 積分」の単元が関連する分野では
決まって、計算作業が膨大になります。
これは、微分の計算ではあまりないことだけど。
積分では、「定積分」の計算で、
ある一つの計算式に、数を代入する作業が2回発生する上に、
計算結果の引き算があるので、
都合、インテグラルの計算は、微分計算の3倍ほどの手間暇になっているのではないかと思った。
だから、問題の解き方があっていて、
段階ごとに必要な数値の導出は出来ていても、
最後の答えを出すところでうまくいかないということが
結構ある。
これは、やはり計算のトレーニングを欠かさずやることで
防いでいくしかないように、思った。(4029文字)